Derivación De Funciones Trigonométricas

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}

Por tanto si f(x) = sin(x)

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}

A partir de la identidad trigonométrica \sin(A+B)=(\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)), se puede escribir

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}

Reordenando los términos y el límite se obtiene

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}

El valor de los límites

\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}

Son 1 y 0 respectivamente por la regla de l'Hôpital. Por tanto, si f(x) = sin(x),

f'(x)=\cos(x) \,

Derivada de la función coseno[editar]

Si f(x) = cos(x)

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}

A partir de la identidad trigonométrica \cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B), se puede escribir

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}

Operando se obtiene:

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)\over h}

Como sen(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}

El valor de los límites

\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(\cos(h)-1)\over h}

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

f'(x)=-\sin(x) \,

Derivada de la función tangente[editar]

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, f(x)\,, se puede escribir como

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

y h(x) \ne 0\, , entonces la regla dice que la derivada de g(x)/h(x)\, es igual a:

\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

A partir de la identidad trigonométrica

\tan(x) = {sin(x)\over\cos(x)}

haciendo:

g(x)=\sin(x) \,

g'(x)=\cos(x) \,

h(x)=\cos(x) \,

h'(x)=-\sin(x) \,

sustituyendo resulta

f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)[-\sin(x)]}{\cos^2(x)}

operando

f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}

y aplicando las identidades trigonométricas

\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \,

\sec^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}\,

resulta:

...