Distribución Continua

Distribuciones continuas: Uniforme

La distribución uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad.

Es una distribución continua porque puede tomar cualquier valor y no únicamente un número determinado (como ocurre en las distribuciones discretas).

Ejemplo: el precio medio del litro de gasolina durante el próximo año se estima que puede oscilar entre 140 y 160 ptas. Podría ser, por tanto, de 143 ptas., o de 143,4 ptas., o de 143,45 ptas., o de 143,455 ptas, etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.

Su función de densidad, aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto del intervalo, viene definida por:

Donde:

b: es el extremo superior (en el ejemplo, 160 ptas.)

a: es el extremo inferior (en el ejemplo, 140 ptas.)

Por lo tanto, la función de distribución del ejemplo sería:

Es decir, que el valor final esté entre 140 ptas. y 141 ptas. tiene un 5% de probabilidad, que esté entre 141 y 142, otro 5%, etc.

El valor medio de esta distribución se calcula:

En el ejemplo:

Por lo tanto, el precio medio esperado de la gasolina para el próximo año es de 150 ptas.

Veamos otro ejemplo:

El volumen de precipitaciones estimado para el próximo año en la ciudad de Sevilla va a oscilar entre 400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la función de distribución y la precipitación media esperada:

Es decir, que el volumen de precipitaciones esté entre 400 y 401 litros tiene un 1% de probabilidades; que esté entre 401 y 402 litros, otro 1%, etc.

El valor medio esperado es:

Es decir, la precipitación media estimada en Sevilla para el próximo año es de 450 litros.

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

Sea X una variable aleatoria discreta y p(x) su función de probabilidad. Diremos que F es la Función de distribución acumulada de probabilidad de X y la definiremos como

Observaciones

1. F(xo) = P[X ≤ xo] = p(x1) + p(x2) + ... + p(xo)

2. Si X: 0, 1, 2, 3, 4 entonces

F(0) = P[X ≤ 0] = P(X < 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0)

F(1) = P[X ≤ 1] = P(X ≤ 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)

F(2) = P[X ≤ 2] = P(X ≤ 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2)

F(3) = P[X ≤ 3] = P(X ≤ 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)

etc.

En general:

F(x) = P[X ≤ x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)

3. Si X: 0, 1, 2, 3, ..., n entonces:

F(x) = 0 si X < 0. La acumulada siempre empieza en 0.Siendo función de probabilidad, no puede tomar valores negativos.

F(x) = 1 si X ≥ n. Como en el caso anterior, siendo una función de probabilidad

...