Ecuaciones

19. Un termómetro se lleva al exterior de una casa donde la temperatura ambiente es de 70° Fahrenheit. Al cabo de 5 minutos el termómetro registra y 5 minutos después registra Fahrenheit.¿Cuál es la temperatura del exterior?

Solución

La ecuación diferencial que modela el problema es en donde es la temperatura del termómetro, que varía en función del tiempo y es la temperatura del exterior, que se considera constante.

Resolviendo la ecuación por separación de variables tenemos:

Integrando:

y aplicando propiedades de logaritmos:

por tanto:

A continuación, considerando la condición inicial vemos que:

es decir:

por lo que la solución general toma la forma:

y ahora tomando en cuenta que:

en la expresión anterior tenemos:

Manipulando algebraicamente la primera ecuación para despejar

y la segunda ecuación:

y aplicando el método de igualación:

es decir:

por tanto, simplificando:

ecuación cuadrática de la forma que podemos resolver por la fórmula general, considerando .

Es decir:

entonces con

con

Sustituyendo este valor en cualquiera de la expresiones de :

Un paracaidista y su equipo pesan juntos . En el instante en que el paracaídas se abre, él está viajando verticalmente hacia abajo a . Si la resistencia del aire varía en forma directamente proporcional a la velocidad instantánea, y la resistencia del aire es cuando la velocidad es . ¿Cuál es la velocidad límite? ¿Cuáles son la posición y la velocidad en cualquier tiempo?

Solución

De acuerdo a la segunda ley de Newton: , y considerando que las fuerzas que actúan en sentido vertical son el peso en sentido positivo y la resistencia del aire en sentido negativo, podemos expresar:

Considerando también que:

,

siendo la constante de proporcionalidad, la segunda ley de Newton se puede anotar como:

ecuación que se puede resolver por separación de variables en la forma:

por tanto, integrando tenemos:

es decir:

por lo que la solución general es:

Ahora bien, puesto que en , sustituyendo en la solución tendremos:

...