Espacios Vectoriales
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Espacios Vectoriales
Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM
17 de junio de 2008
´I
ndice
15.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
15.2. Motivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
15.3. Abstracci´on y Generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
15.4. Generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
15.5. El concepto de operaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
15.6. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
15.7. Teoremas sobre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
15.8. Ejemplos de EV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
15.9. Subespacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
15.1. Objetivos
En esta lectura se introduce el concepto de espacio vectorial. Este concepto generaliza los vectores n y las
matrices m × n. El concepto es abstracto y por tanto tiene alguna dificultad natural; se le pide al estudiante
un esfuerzo extra para pensar las cosas desde un punto de vista general.
15.2. Motivaci´on
Veamos un ejemplo para introducir el concepto de las ideas invariantes en la soluci´on a un sistema de
ecuaciones lineales.
Ejemplo 15.1
Considere el sistema homog´eneo:
x + 2 y + w + 2 t = 0
2 x + 4 y − z + w + 5 t = 0
x + 2 y + z + 2w + t = 0
z + w − t = 0
Si utilizamos el orden x → y → z → w → t la matriz aumentada reducida queda:
1 2 0 1 2 0
2 4 −1 1 5 0
1 2 1 2 1 0
0 0 1 1 −1 0
→
1 2 0 1 2 0
0 0 1 1 −1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
De donde la f´ormula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
= y
−2
1
0
0
0
+ w
−1
0
−1
1
0
+ t
−2
0
1
0
1
Si utilizamos el orden x → y → w → z → t la matriz aumentada reducida queda:
1 2 1 0 2 0
2 4 1 −1 5 0
1 2 2 1 1 0
0 0 1 1 −1 0
→
1 2 0 −1 3 0
0 0 1 1 −1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
De donde la f´ormula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
= y
−2
1
0
0
0
+ z
1
0
1
−1
0
+ t
−3
0
0
1
1
Si utilizamos el orden x → y → t → z → w la matriz aumentada reducida queda:
1 2 2 0 1 0
2 4 5 −1 1 0
1 2 1 1 2 0
0 0 −1 1 1 0
→
1 2 0 2 3 0
0 0 1 −1 −1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
De donde la f´ormula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
= y
−2
1
0
0
0
+ z
−2
0
1
0
−1
+ w
−3
0
0
1
1
Si utilizamos el orden y → x → z → w → t la matriz aumentada reducida queda:
2 1 0 1 2 0
4 2 −1 1 5 0
2 1 1 2 1 0
0 0 1 1 −1 0
→
1
1
2
0
1
2
1 0
0 0 1 1 −1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
De donde la f´ormula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
= x
1
−1/2
0
0
0
+ w
0
−1/2
−1
1
0
+ t
0
−1
1
0
1
Todas las soluciones previas aparentant ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjunto
soluci´on. Necesitamos una teor´ıa que nos d´e confianza en los resultados obtenidos; qu´e nos indique las cosas
que permanecen y las cosas que pueden cambiar en las m´ultiples respuestas v´alidas en Rn que podemos
obtener. Adem´as de los conjuntos soluci´on en Rn, existen otras ´areas de la ingenier´ıa que requieren un
apoyo matem´atico: las matrices tienen su importancia y uso en ingenier´ıa industrial y en control; las series
trigonom´etricas en procesamiento de se˜nales; los conjuntos de polinomios y las series de potencias para los
IFIs, etc..
¿C´omo desarrollar una teor´ıa comod´ın que se pueda aplicar a diferentes contextos sin ning´un cambio importante?
2
15.3. Abstracci´on y Generalizaci´on
Si se hace una encuesta entre los matem´aticos sobre que palabras describen a las matem´aticas se notar´a que
la mayor´ıa responde al menos dos palabras claves: abstracci´on y generalizaci´on. La abstracci´on tiene que ver
con representar cantidades por medio de s´ımbolos ,y la generalizaci´on tiene que ver con la construcci´on
...