Estadistica-Muestreo
Enviado por wiliyvivi • 22 de Enero de 2014 • 3.684 Palabras (15 Páginas) • 360 Visitas
Tema 1
Ejercicios resueltos de
Muestreo
Ejercicio 1 Sea una población ...nita de 4 elementos: P = f3; 4; 1; 2g : Se
consideran muestras de 3 elementos que se suponen extraidos y no devueltos a
la población y que el muestreo es aleatorio simple. Las muestras se consideran
distintas si se diferencian en algún elemento. Se pide: 1) Escribir todas las
muestras posibles 2) Calcular la probabilidad de cada muestra. 3) Calcula la
media, ; la varianza, 2 de la población. 4) Calcula la media, x; la varianza,
S 2 ; y la cuasivarianza, s2 de cada muestra. 5) Describe las funciones de
c
probabilidad de estos estadísticos. 6) Calcula la esperanza E(x); y decide
si x es un estimador centrado o insesgado de la media de la población 7)
Calcula la esperanza S 2 ;y de s2 y decide si alguno de estos estadísticos son
c
estimadores centrados o insesgados de la varianza de la población. 8) Cálcula
la varianza de x: 9) Comprueba la concordancia de los valores obtenidos en
los anteriores apartados con los resultados teóricos.
1. Las muestras posibles son f3; 4; 1g ; f3; 4; 2g ; f3; 1; 2g ; f4; 1; 2g :
2. La probabilidad de extración de cada una de estas muestra es
1
4
0:25
3. La media de P = f3; 4; 1; 2g es
= 2:5 y su varianza es
2
=
1
(4)
3
=
= 1:25
4. Las medias varianzas y cuasivarianzas de cada una de estas muestras
están dadas en la tabla siguiente:
muestra
f3; 4; 1g
f3; 4; 2g
f3; 1; 2g
f4; 1; 2g
media,x
2:b
6
3
2
2:b
3
Varianza, S2
1.b
5
0.b
6
b
0.6
1.b
5
1
cuasivarianza,s2
c
2.b
3
1
1
2.b
3
2
TEMA 1. EJERCICIOS RESUELTOS DE MUESTREO
5. La función de probabilidad de la medias de la muestra es la siguiente:
x
Probabilidad
b 1/4
2:6
3
1/4
2
1/4
2:b 1/4
3
S2
5
La función de probabilidad de la varianza de la muestra es: 1.b
0.b
6
La función de probabilidad de la cuasivarianza
s2
cuasivarianza
c
2.b 1/2
3
1
1/2
cuasivarianza
1/2
1/2
de la muestra es:
6. La esperanza de la media de las muestra, teniendo en cuenta su función
de probabilidad es.
E(x) = 2:666667
1
4
+3
1
4
+2
1
4
+ 2:333333
1
4
= 2: 5 = :
por tanto x es un estimador insesgado de la media poblacional :
7. La esperanza de la varianza de la muestra, teniendo en cuenta su función
de probabilidad es.
E(S 2 ) = 1:5555556
1
2
+ 0:6666667
1
2
= 1: 111 1
La esperanza de la cuasivarianza de la muestra, teniendo en cuenta su
función de probabilidad es.
E(s2 ) = 2:3333333
c
1
2
+1
1
2
= 1: 666 667
Ninguna de estas esperanzas coincide con la poblacional, 2 = 1:25;
así que ninguno de estos estadísticos son estimadores centrados de la
varianza de la población.
8. La varianza de la media muestral es:
V ar(x) = E(x) = 2:6666672
0:138 89
1
2
4 +3
1
2
4 +2
1
2
4 +2:333333
1
4
2:52 =
9. En el caso del muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento se cumple:
a) La esperanza de la media muestral es la media poblacional, tal como
se ha puesto de mani...esto en el apartado 6)
4
b) E(s2 ) = 2 NN 1 = 1:25 3 = 1: 666 7; así que ahora la cuasivari-
c
anza de la muestra es un estimador insesgado de la cuasivarianza de la
población, coincidiendo con el resultado del apartado 7)
3
Por otra parte:
E(S 2 ) = E(s2 nn 1 ) = E(s2 ) nn 1 =
c
c
2 N n 1
N 1 n
= 1: 666 7
2
3
= 1: 111 1
coincidiendo con el valor obtenido en el primer cálculo del apartado 7).
2
n 1
1:25
2
c) V ar(x) = n (1
N 1 ) = 3 (1
3 ) = 0:138 89 que es el valor
obtenido para la varianza de la media muestral en el apartado 8).
Ejercicio 2 Considerando en la población P = f3; 4; 1; 2g ya dada en el
problema 1, se realiza un cierto tipo de muestreo en el que las únicas mues-
tras posibles son f3; 4; 1g y f4; 1; 2g ; con la distribución de probabilidad y
características indicada en la siguiente tabla
muestra
f3; 4; 1g
f4; 1; 2g
Probabilidad
0.3
0.7
media,x
2:b
6
2:b
3
Varianza, S2
1.b
5
1.b
5
cuasivarianza,s2
c
2.b
3
2.b
3
1. Calcular la esperanza, la varianza, el sesgo y el error cuadrático medio
del estadístico x
2. ¿ mejor este tipo de muestreo, o el aleatorio simple del problema 1,
Es
para estimar la media poblacional?.
1. E(x) = 2:6666667
V ar(x) =
0:3 + 2:3333333
2:66666672
Sesgo(x) = E(x)
0:3+2:33333332
= 2:4333
)2
2:5 =
0:7 = 2: 433 3
0:7 2: 433 32 = 2: 349 5 10
2
0:066 7
x2
ECM (x) = E(x
=E
2x + 2 = E x2
2 E (x) + 2 =
2:66666672 0:3 + 2:33333332 0:7 2 2:5 2: 433 3 + 2:52 = 0:02:
794 4:
También podíamos haber empleado la expresión:
ECM (x) = V ar(x) + Sesgo2 (x) = 0:023495 + ( 0:0667)2 = 2: 794 4
10 2
Este estimador no es centrado como el del muestreo aleatorio simple,
pero a cambio tiene menos varianza. Para decidir entre ambos com-
paramos los errores cuadrático medio del estadístico x:
2. Calculamos el error cuadrático medio del primero, es decir, del muestreo
aleatorio simple:
ECM (x) = V ar(x) + Sesgo2 (x) = 0:138892 + 02 = 0:019 29:
Como el error cuadrático medio es mejor en el caso del muestreo aleato-
rio simple, preferimos este tipo de muestreo.
4
...