Factorizacion

Tema: Factorización utilizando el máximo común divisor mejor conocida como la técnica de factor común.

Esta técnica está basada en la Propiedad distributiva: ab+ac=a (b+c)

Ejemplo:

Factorice Se busca el máximo común divisor entre los dos términos.

En este caso el 7 es factor de 7 y del 14, la x es factor de x2 y de la x. Siendo el mayor o máximo en ambos casos. Por lo tanto, 7x es el factor común. Utilizando este factor se reescribe la expresión:

=

Factorice El máximo común divisor entre los dos términos es 20a 2 ya que el 20 es factor de 40 y el a 2 es factor de a 3. Por lo tanto, 20a 2 es el factor común. Utilizando este factor se reescribe la expresión:

=

Ejercicios: Halla el máximo común divisor y factoriza las siguientes expresiones:

19x^3-38 x^2=

100a^4+50a^2=

Respuestas:

19x^2 (x-2)

50a^2 (2a^2+1)

Ejemplo: Factorice 6x^3-9x^2 y-6x^2 y^2 y verifique su respuesta.

¿Qué factor tienen en común cada término de este trinomio? El 3 y la x^2.

Por lo tanto: 6x^3-9x^2 y-6x^2 y^2=3x^2 (2x-3y-2y^2 )

Verificamos nuestro resultado multiplicando. 3x^2 (2x-3y-2y^2 )=6x^3-9x^2 y-6x^2 y^2

Ejemplos: Factoriza y verifique su respuesta.

1. 9a^3-12a^2 b^2-15a^4= 3a^(2 ) (3a-4b^2-5a^2 )

2.

21x^3-18x^2 y+24xy^2=3x(7x^2-6xy+8y^2)

2xy^2-14x^2 y+20x^2 y^2+36x^3 y=2xy(6y-7x+10xy+18x^2 )

Ejemplo: Factorice 2x(x+5)-3(x+5)=

Respuesta: 2x(x+5)-3(x+5)=(x+5)(2x-3)

Ejercicios: Factorice

9x^2-18xy-15y^2=

4a^3-12a^2 b^2-8ab^3+6ab=

21x^3-18x^2 y+24xy^2=

12xy^2-14x^2 y+20x^2 y^2+36x^3 y=

2x^2 (2x-3)-3(2x-3)=

Respuestas:

1. 3(3x^2-6xy-5y^2 )

2. 2a(2a^2-6ab^2-4b^3+3b)

3. 3x(7x^2-6xy+8y^2)

4. 12xy^2-14x^2 y+20x^2 y^2+36x^3 y=

5. (2x-3)(2x^2-3)

Factorizando por agrupación.

Ejemplo 1. Factorice: ax + 2ay + 2bx + 4by

ax + 2ay + 2bx +4by = a (x + 2y) + 2b (x + 2y) = (a + 2b) (x+ 2y)

Ejemplo 2. Factorice: bx + 5by + 2wx + 10wy

(bx + 5by) + (2wx + 10wy) = b (x + 5y) + 2w (x + 5y) = (b + 2w) (x + 5y)

Ejemplo 3. Factorice: 2x2 – 18y – 12x + 3xy En este caso primero, reorganice los términos:

2x2 – 12x + 3xy – 18y

2x (x - 6) + 3y (x - 6)

(2x + 3y) (x – 6)

Practica: 5x2 – 12y + 4xy – 15x

Ejemplo 4. Factorice: xy – 6 + 3x – 2y.

xy + 3x – 2y – 6

x (y + 3) – 2 (y + 3)

(x – 2) (y + 3)

Practica: Factorice xy – 12 – 4x + 3y

Ejemplo 5. Factorice: 2x3 + 21 – 7x2 – 6x. Verifique su respuesta.

2x3 + 21 – 7x2 – 6x Reorganice los términos

2x3 – 7x2 – 6x + 21

x2 (2x – 7) – 3 (2x – 7)

(x2 – 3) (2x – 7) Ver. 2x3 – 7x2 – 6x + 21

Practica: Factorice 2x3 – 15 – 10x + 3x2 y verifique su respuesta.

5.5 (7.6)

Tema: Factorizando Trinomios de la forma x2 + bx + c

Ejemplo x2 + 9x + 20

X2 + 9x + 20 20 = 20 x 1, 4 x 5 y 10 x 2 De estos productos el único que suma 9 es 4 x 5 .

Por lo tanto (x + 4) (x + 5) es nuestra factorización.

Factorizando Trinomios de la forma x2 + bx + c.

La respuesta tiene la forma (x + m) (x + n), donde m y n son números reales.

Los números m y n son escogidos de forma tal, que tienen que cumplir con lo siguiente:

1ro. m x n = c y 2do. m + n = b

De manera que: (x + m) (x + n) = x2 + xn + xm +mn

= x2 + x (n + m) + mn

= x2 + x (b) +c

= x2 + bx + c

Ejemplo1. x2 – 13x – 48 = Ejemplo 2. x2 + 11x – 26 =

(x – 16) (x + 3) (x – 2) (x + 13)

Ejemplo 3. x4 – 4x2 – 12 = Ejemplo 4. x4 + 2x2 – 15 =

(x2 + 2) (x2 – 6) (x2 – 3) (x2 + 5)

Practica:

x2 – 14x + 48 = (x – 6) (x – 8)

x2 + 14 + 45 = (x + 5) (x + 9)

x6 – 3x3 – 4 = (x3 + 1) (x3 – 4)

x4 + 3x2 – 10 = (x2 – 2) (x2 + 5)

Factorice :

Ejemplo 5. x2 – 21xy – 20y2 = Ejemplo 6. x2 + 4xy – 21y2

(x – 20y) (x – y) (x + 7y) (x – 3y)

Practica: Factorice

x2 – 16xy + 15y2

x2 + xy – 42y2

Ejemplo 7. Factorice: 3x2 – 30x + 48 1ro note, que hay un factor común 3.

= 3 (x2 – 10x + 16)

= 3 (x – 8) (x – 2)

Practica: 4x2 – 44x + 72

Factorización de trinomios cuadráticos de la forma ax2 + bx + c.

Método: Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c

Obtenga el producto a•c.

Encuentra la factorización del producto anterior (a•c), de forma tal, que la suma sea b.

Usa esos dos factores para escribir bx como la suma de esos dos términos. Vea pasos 2 y 3 del ejemplo.

Factorice por agrupación.

Ejemplo: Factorice 2x2 + 19x + 24

(a) (c) = (2) (24) = 48

Busque las parejas

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