Geometria

1. De la siguiente elipse 25x2+ 4y2= 100. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

d. Eje menor y eje mayor

e. Gráfica

RTA:

25 x^2 + 4 y^2 = 100

Dividimos por 100 todo

x^2/4 + y^2/25 = 1

Esta forma nos dice

Eje focal en "y"

a) 

Centro (0;0)

d)

Semieje mayor 

a = 5

Semieje menor 

b = 2

c)

Vértices 

(+2;0) (-2;0) (0;+5) (0;-5)

b)

c = √(a^2 - b^2) = √(5^2 - 2^2) = √(25 - 4) = √21 = 4.5826

Focos

(0;+4.5826..) (0;-4.5826..) 

e) Óvalo vertical con centro en el origen

dentro del rectángulo x= +2; x = -2; y = +5; y = -5

2. Analice la siguiente hipérbola 9x2– 16y2– 18x – 64y – 199 = 0. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

d. Asíntotas

e. Gráfica

RTA:

9 x^2 – 16 y^2 – 18 x – 64 y – 199 = 0

Ordenamos y sacamos factor común

9 x^2 – 18 x – 16 y^2 – 64 y = 199 

9 (x^2 - 2x) - 16 (y^2 + 4 y) = 199

Completamos cuadrados

9 (x^2 - 2x + 1 ) - 16 (y^2 + 4 y + 4) = 199 + 9*1 - 16*4 = 199 + 9 - 64 = 144

9 (x - 1)^2 - 16 ( y + 2)^2 = 144

Dividimos todo por 144

((x - 1)^2 / 16) - (( y + 2)^2 / 9) = 1

Se trata de una hipérbola con eje real x

a)

Centro (1;-2)

c)

Semieje real 

a = 4

Semieje transverso

b = 3

Vértices (-4+1;-2) (4+1;-2) ---> (-3;-2) (5;-2)

b)

c = √(a^2 + b^2) = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

Focos (-5+1;-2) (+5+1;-2) --> (-4;-2) ; (6;-2)

d)

Asíntotas

((x - 1)^2 / 16) - (( y + 2)^2 / 9) = 0

( ((x - 1) / 4) - (( y + 2) / 3) )*( ((x - 1) / 4) + (( y + 2) / 3) ) = 0

Asíntota 1

((x - 1) / 4) = (( y + 2) / 3)

Asíntota 2

((x - 1) / 4) = -(( y + 2) / 3)

3. Analice la siguiente ecuación x2+y2-8x-7y=0   Determine: 

a. Centro 

b. Radio 

c. Gráfica 

x^2 + y^2 – 8x – 7y = 0 

x^2 + y^2 – 8x – 7y + 16 + 49/4 = 16 + 49/4 

x^2 – 8x + 16 + y^2 -2(7/2)y + 49/4 = 16 + 49/4 

x^2 – 8x + 4^2 + y^2 -2(7/2)y + (7/2)^2 = 113/4 

(x - 4)^2 + ( y - 7/2 )^2 = (√113/2)^2 

a. centro = (4 , 7/2)

b. Radio = √113/2

4. Determine de la parábola 2x2– 12x – 24y – 30 = 0 lo siguiente:

a. Vértice

b. Foco

c. Directriz

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