Limites Y Continuidad

INTRODUCCION

Las operaciones matemáticas fundamentales del Cálculo son la diferenciación y la integración y estas operaciones se basan en la determinación de la derivada y la integral, que a su vez se basan en el concepto de límite.

Dado que la derivada de una función se define como un límite, es importante comprender lo que es un límite y aprender a evaluar límites. También vemos aquí la relación que hay entre los conceptos de límite y continuidad siendo ésta la propiedad de una función de no presentar roturas en su grafica.

Este trabajo se hiso con la intención de que el estudiante comprenda el concepto de límite y adquiera habilidad para el cálculo de límites de funciones de diferentes tipos.

Que el estudiante alcance un conocimiento claro del concepto de continuidad y de sus aplicaciones.

Concepto de límite

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que el una sucesión o una función tiene un límite si se puede acercar a un cierto número, que se llama el límite, tanto como queramos. Se usa el límite en cálculo(por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación ,integración, y muchas otras cosas.

Limite de la función 1/x; cuando tiende a 0

Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".

Resumen

A veces podemos no usar infinito directamente, pero sí podemos usar un límite.

Lo que pasa en ∞ es indefinido... 1/∞

... pero sabemos que 1/x va hacia 0 cuando x va hacia infinito

Limite de la función cuando 1/x; cuando x tiende a +- infinito

Para calcular el límite de una función cuando x ∞ se sustituyen las x por ∞.

Límite de funciones polinómicas en el infinito

El límite cuando x ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.

Límite de la inversa de un polinomio en el infinito

Si P(x) es un polinomio, entonces:

.

Cálculo de límites cuando x -∞

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