Límites Y Continuidad

Límites y continuidad

LÍMITES

El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

Definición de límite

Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.

Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):

x f (x) Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.

1.9

1.99

1.999

1.9999

2.0001

2.001

2.01

2.1 2.61

2.9601

2.996001

2.99960001

3.00040001

3.004001

3.0401

3.41

|x - 2| | f (x) - 3|

|1.9-2| = 0.1

|1.99-2| = 0.01

|1.999-2| = 0.001

|1.9999-2| = 0.0001

|2.0001-2| = 0.0001

|2.001-2| = 0.001

|2.01-2| = 0.01

|2.1-2| = 0.1 |2.61-3| = 0.39

|2.9601-3| = 0.0399

|2.996001-3| = 0.003999

|2.99960001-3| = 0.00039999

|3.00040001-3| = 0.00040001

|3.004001-3| = 0.004001

|3.0401-3| = 0.0401

|3.41-3| = 0.41

De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función f (x) cuando x tiende a 2, es 3.

Definición épsilon-delta

Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe

Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.

Ejercicios resueltos (aplicando la definición epsilón-delta)

En los ejercicios 1 a 7, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Epsilón-delta:

S o l u c i o n e s

1. Solución:

2. Solución:

3. Solución:

4. Solución:

5. Solución:

Continuidad de una función

Criterios de continuidad de una función en un número

Se dice que una función f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial.

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).

Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 7 trace la gráfica de la función; luego observando dónde hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cuál condición no se cumple de los "Criterios de contnuidad de una función en número". En los ejercicios 8 a 14 demuestre que la función es discontinua en el número a. Luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca. En los ejercicios 15 a 21, determine los números en los cuales es continua la función dada.

S o l u c i o n e s

1. Solución:

x -4 0 2

f (x) -6 -2 0

f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusión:

f es discontinua en -3.

2. Solución:

x -6 -1 0 2 3 5 6 9

h(x) -0.5 -1 -1.25 -2.5 -5 5 2.5 1

...