Minimo Cuadraticos

Matemáticas II

Tutoría

Problema de aplicación:

En la siguiente tabla se muestran los datos de la venta de autos de los últimos 6 meses consecutivos del actual año, en el Ecuador.

MESES ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO

VENTAS 9.88 9.74 9.88 9.95 10.84 11.25

Represente los datos en una gráfica.

Halle la ecuación de la recta de los mínimos cuadrados.

Utilice la recta de mínimos cuadrados para predecir las ventas en el año 2012.

f = 〖( y-mx-b)〗^2

f ( m,b)= 〖( 9.88-m-b)〗^2+ 〖(9.74-2m-b)〗^2+ 〖(9.86-3m-b)〗^2+ 〖(9.95-4m-b)〗^2+ 〖(10.84-5m-b)〗^2+ 〖( 11.25-6m-b)〗^2

m = 2(9.88- m – b) (-1) + 2(9.74- 2m – b) (-2) + 2(9.88 – 3m – b) (-3) + 2(9.95- 4m – b) (-4) + 2(10.84 -5m – b) (-5) + 2(11.25 – 6m –b) (-6)

m = -19.76+2m+2b-38.96+8m+4b-59.28+18m+6b-79.6+32m+8b-108.4+50m+10b-135+72m+12b

b = 2(9.88– m - b) (-1) + 2(9.74 - 2m- b) (-1) + 2(9.88 – 3m – b) (-1) + 2(9.95 -4m – b) (-1) + 2(10.84 -5m – b) (-1) + 2(11.25-6m – b) (-1)

b = -19.76+2m+2b-19.48+4m+2b-19.76+6m+2b-19.9+8m+2b-21.68+10m+2b-22.5+12m+2b

Derivada Parcial

- 441+182m+42b = 0 - 441+182m+42b = 0

-3.5 -123.08+42m+12b = 0 430.78-147m-42b = 0

-10.22+35m = 0

-123.08+42(0.292) +12b = 0

35m = 10.22

-12b= 123.08-12.264

- 12b= 110.816 m= 10.22/35

b= 110.816/12

Descriminante

f_mm=182 f_bb=12 f_mb= 42

D =f_mm. f_bb – 〖〖(f〗_mb)〗^2

D = 182 (12) – 〖(42)〗^2 = 2184 – 1764 = 420 Mínimo

Ecuación de la recta de regresión

y = mx + b

y= 0.292x+9.234

Predicción:

y = 0.292 (7) + 9.234

y = 11.278

La predicción para julio de ventas de autos en el Ecuador será 11.278

Método Estadístico

Meses X Ventas (y) x^2 x.y

Enero 1 9.88 1 9.88

Febrero 2 9.74 4 19.48

Marzo 3 9.88 9 29.64

Abril 4 9.95 16 39.8

Mayo 5 10.84 25 54.2

Junio 6 11.25 36 67.5

SUMA: ∑▒〖x=21〗 ∑▒〖y=61.54〗 ∑▒〖x^2=91〗 ∑▒xy=220.5

Promedios:

x = (∑▒x)/n = 21/6 = 3.5

y = (∑▒y)/n= 61.54/6= 10.256

m = (n ∑▒〖xy- ∑▒〖x ∑▒y〗〗)/(n ∑▒x^2 -( ∑▒〖x)〗^2 ) = (6 (220.5)- (21) (61.54))/(6 (91)-

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