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PROBABILIDAD


Enviado por   •  4 de Julio de 2015  •  2.002 Palabras (9 Páginas)  •  194 Visitas

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APÉNDICE: TÉCNICAS DE CONTEO

“La ciencia es la estética de la inteligencia”

Gastón Bachelard

“La ESTADÍSTICA es la estética de la naturaleza”

MOVE

Métodos de enumeración

Con la finalidad de especificar el total de resultados posibles de un espacio

muestral S de interés, especialmente en la construcción de funciones de

probabilidad de variable discreta, como la distribución binomial, expondremos

algunas técnicas de enumeración:

Principio de multiplicación

Si una operación se puede realizar a través de k fases sucesivas y cada fase

es realizable de ni maneras, entonces la operación global es realizable de

k n × n × n × ...× n 1 2 3 maneras.

Ejemplo 1. Considérense los distintos itinerarios entre Medellín, Cartagena y

San Andrés, utilizando como medios de transporte avión, barco, carro y tren;

¿de cuántas maneras se puede realizar el tour completo Medellín –

Cartagena – San Andrés según las rutas y medios que muestra el siguiente

diagrama?

2

El itinerario Medellín Cartagena se puede efectuar de tres maneras, el

itinerario Cartagena San Andrés se puede realizar de dos maneras y el tour

completo Medellín, Cartagena San Andrés de 2× 3 = 6 maneras.

Principio de adición.

Si una operación global se puede realizar a través de k fases excluyentes y

cada fase se puede realizar de ni maneras, entonces la operación global se

puede realizar de + + + + = 

k

i

k i n n n ... n n 1 2 3 maneras.

Observe que: La sumatoria  es un operador que goza de las siguientes

propiedades:

a) 1

1

i 1

i  x = x

=

b)   

= = =

= =

n

k 1

k

n

j 1

j

n

i 1

i x x x , el

subíndice es una variable muda.

c)

(k k k k) k n k o sea la suma de una constante, n veces

n

i 1

+ + + + =  =

=

...

d) Propiedad asociativa generalizada

  

= = = +

= +

2 k

i k 1

i

k

i 1

i

2k

i 1

i

x x x

e) Propiedad telescópica

( ) n o

n

1

 ai − ai−1 = a − a

f) Propiedad de operador lineal

 ( + ) =  + 

n

1

n

1

k

n

1

a xk b yk a xk b y a y b constantes.

Estas propiedades son importantes para la operación de variables aleatorias

discretas y valores esperados.

3

Ejemplo 2. Considérese el número de maneras para temperar en clima frío

en Pasto, Bogotá o Manizales, o en clima cálido en Barranquilla, Cartagena,

Tolú o Riohacha. ¿De cuántas maneras se puede temperar según el

diagrama siguiente?

Veamos:

Se puede temperar frío de 3 maneras y cálido de 4 maneras para un total de

3 + 4 = 7 maneras.

Principio de permutación.

Definimos el número de permutaciones de n objetos como el total de

maneras como se pueden ordenar o agrupar los n objetos el cual equivale a

1 × 2 × 3 × ... × n = n !, definido como factorial de n. Observe que se

cumple la fórmula de recurrencia n! = n (n −1)! y por consistencia con ella

cuando n=1 se define 1! = 0! = 1.

Ejemplo 3. Se tiene un equipaje conformado de

Pantalones: P, Camisas: C, Interiores: I, y Zapatos: Z.

¿De cuantas maneras se puede colocar en un armario de 4 compartimentos?

4

C1 C2 C3 C4

PC Ι Z CΙ Z Ι Z Z

   

4 × 3 × 2 × 1 = 4!

En el C1 podemos colocar una de las cuatro clases de equipaje, es decir, hay

4 maneras de ocupar C1, para C2 tendremos sólo 3 maneras, para C3 2

maneras, para C4 sólo 1 manera de ocuparlo, es decir, el total de maneras es

4×3×2×1 = 4! = 24

Con fundamento en los principios de adición, multiplicación y permutación se

definen los conteos de variación, combinación y partición.

Variaciones. Cuando se permutan solo r ≤ n tomados de los n elementos

entonces definimos,

(n r)!

n!

P

n

r

=

como el número de variaciones de n objetos tomados de a r.

Ejemplo 4. En el caso de las cuatro prendas de equipaje considere que solo

se dispone de 3 compartimentos. ¿De cuantas maneras se pueden colocar

las cuatro prendas en los 3 compartimentos?

Calculamos

( )

= = 4

=

3!

4!

n r !

n!

P

n

r

Combinaciones. Cuando en las variaciones se prescinde del orden de los r

objetos se definen las combinaciones de n objetos tomados en grupos de

r ≤ n como

r! (n r!)

r !

r

n

=











5

Ejemplo 5. ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar ternas, sin

restitución y sin considerar el orden entre 5 objetos diferentes?

Calculamos

( )

10

3! 2!

5!

r! n r!

r !

r

n

= =

=











Observe que











=











n r

n

r

n

es decir que el número de subgrupos posibles de

r objetos o de n-r objetos en un conjunto de tamaño n es igual.

Y que en particular con r=1

n

1

n

n 1

n

=











=











Particiones

El número de particiones distintas de n objetos en los cuales n1 son de una

clase, n2 de una segunda clase, ..., nk de una k − ésima clase, coincide con

el número de formas de hacer una partición de un conjunto de n objetos en k

celdas con n1 objetos en la primera celda, n2 elementos en la segunda

celda y así sucesivamente donde 1 2 nk n = n + n + ... + y el orden en cada

celda y entre celdas no se considera; este número es:

n ! n

...

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