Sintesis-1-calculo Vectorial

1.1.-Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica

Un vector es un objeto matemático que tiene una magnitud y un sentido, los vectores se refiere a los elementos de cualquier Rn es decir podemos representar infinidad de vectores en un plano.

Vector en R2 e interpretación geométrica:

Un vector en 2D son pares ordenados de números reales, denotada de la siguiente manera v= (v1,v2). Tiene la propiedad de que si partimos del punto inicial, recorremos una distancia dirigida v1 paralela al eje x, y después recorremos una distancia dirigida v2

Paralela al eje y, llegamos al punto terminal. Para poderlo representarlo utilizamos dos ejes llamados ejes cartesianos (x,y).Donde la dirección del vector es la dirección del origen al punto (v1,v2) a lo largo de la recta que une estos puntos.

Su magnitud está dada por |a|= raíz cuadrada de (v1)2+(v2)2.

Un vector de posición en R2 se define completamente por su magnitud y dirección pues se entiende que el vector tiene punto inicial en el origen.

Vector en R3 e interpretación geométrica:

Un vector en R3 que está compuesta por una terna ordenada de números reales, v=(v1,v2,v3). Para representarlo utilizamos tres ejes ortogonales llamados ejes cartesianos (x,y,z), si hablamos geométricamente un vector con estas características se representa en el espacio como un segmento de recta dirigido.

Su magnitud estada dada por |v|= raíz cuadrada.

La dirección de v = x, y, z está definida por la medida de los ángulos que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes x, y, z.

La representación grafica tanto de los vectores R2 y R3 pueden representarse como segmentos de recta dirigidos es decir flechas el cual lo ubicamos en un sistema de coordenadas

En el plano R2 se trata del plano xy se divide en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Mientras que en el plano R3 se tienen los planos coordinados x,y,z tiene ocho regiones llamados octetos.

1.2.-Introduccion a los campos escalares y vectoriales

Campo: Si asignamos a cada punto del espacio el valor de una función de punto podemos afirmar que este espacio como base o soporte de la magnitud es un campo.

Campos escalares:

Una función definida en el en el espacio, por lo tanto es una función escalar donde su valor depende del que punto que se estudie.

Estos campos podemos visualizarlo por medios de líneas en el plano o superficies en el espacio equipotenciales que es el lugar geométrica de los puntos del espacio en donde la función escalar toma el mismo valor.

Ejemplo:

Mapa de relieve

Campos vectoriales:

En estos tipos de campos se definen las líneas de fuerza o también conocidos como líneas de campo.

Líneas de campo: Son líneas tal que en cada uno de sus puntos el campo vectorial es tangente a ellas. Dos líneas de campo no se pueden cortar (univaluado).

Un campo vectorial corresponde con un segundo tipo de funciones conocido como rango multidimensional por el cual una magnitud física requiere de un vector para su descripción por citar algunos ejemplos como un campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas.

En este tipo de campos de vital importancia los campos de fuerzas.

Un campo vectorial es uniforme cuando se tenga el mismo valor del vector donde este campo está representado por líneas de campos paralelas y equidistantes.

Sea D un subconjunto en R2 este campo vectorial sobre R2 es una función asignada a los puntos (x,y) de D es un vector de dos dimensiones F(x,y)

Sea D un subconjunto en R3 este campo vectorial sobre R3 es una función asignada a los puntos (x.y.z) de D es un vector de tres dimensiones F(xyz)

Características de los Campos Escalares y Vectoriales

a) Univaluados.‐ El valor de la magnitud escalar o vectorial asignada a cada punto es única.

b) Acotados.‐ Existe un número tal que la magnitud del campo es menor.

c) Continuos.‐ Los valores del Campo en un punto son independientes de la dirección por la que nos acerquemos

y coincide con el valor del campo en el punto.

d) Lineales.‐ Los vectores que constituyen un campo de dimensión n, se pueden expresar como combinación

Lineal de n vectores.

e) Diferenciables.

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