Sistemas Dinamicos

TRABAJO COLABORATIVO No. 2

Presentado por:

GUILLERMO ALFONSO LOZANO PERDOMO

C.C. 1110477261

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

SISTEMAS DINAMICOS

IBAGUE

2013

INTRODUCCION

Este trabajo está realizado para mostrar el modelamiento matemático de algunas funciones de transferencia, los cuales se desarrolla en dos parte la primera es el desarrollo de cinco ejercicios teóricos y encontrar la respuesta analítica de estos, la segunda contiene el desarrollo de una parte practica por medio un software MATLAB en el cual se evidencia, la estabilidad o la inestabilidad de un sistema, la ubicación de polos y ceros, los tiempos de subida, tiempos de establecimiento, sobreimpulso, entre otros, de una función de transferencia. De estos de algunos casos.

1. Actividad Teórica: La primera actividad está compuesta de una serie de ejercicios

que deberán ser desarrollados de forma analítica por cada uno de los estudiantes

del grupo colaborativo.

Ejercicio 1: Encuentre ζ, ώn, Ts, Tp, Tr y %SI para un sistema cuya función de transferencia es:

SOLUCION

Para sistemas de segundo orden tenemos

Tiempo de subida (Tr): En sistemas subamortiguados es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar el 100% del valor final

TENEMOS

Tiempo de pico Tp : Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar el primer máximo. Sólo existe en sistemas subamortiguados.

TENEMOS

De este modo, a medida que aumente la parte imaginaria de los polos del sistema, el tiempo de pico disminuirá.

Tiempo de establecimiento Ts : Es el tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de determinado rango (habitualmente 5% o 2%) del valor final. Generalmente está relacionado con las constantes de tiempo más grandes del sistema.

Ejercicio 2: Un sistema con realimentación unitaria tiene la siguiente función de

transferencia en la trayectoria directa:

Utilice el criterio de Routh-Hurwitz para encontrar el rango de valores de K para el cual el sistema es estable.

Primero obtenemos

Factorizamos

El polinomio característico será:

Condición suficiente:

Para que el sistema sea estable se debe cumplir que 6-3k y 20k sean positivos.

Para que se cumpla 20k>0, k debe ser positivo k>0.

Para que se cumpla

3-3k>0

6>3k

6/3 >k

2>k

Para que el sistema sea estable k debe ser menor que 2 y mayor que 0

0<k<0. Respuesta.

Ejercicio 3: Un sistema con realimentación unitaria tiene la siguiente función de

transferencia en la trayectoria directa:

a)

a.1

Para entrada 15u(t) => 15/S

Entonces:

a.2

Para entrada 15t U(t) = 15/S2

a.3

Para entrada 15t2 u(t) = 15/S3

b.1 Para entrada 15u(t) = 15/S

b.2 Para entrada 15t u(t) 15/S2

b.3 Para entrada 15t2u(t) 15/S3

Ejercicio 4: Dado un sistema con realimentación unitaria que tiene la siguiente

función de transferencia en la trayectoria directa:

Por ser de segundo orden posee 2 ramas.

Ceros en lazo abierto:

Polos en lazo abierto:

Factorizamos usando cuadrática:

Los polos son:

Revisando trayectorias sobre el eje real, nos ubicamos en cualquier punto para observar si a la derecha de este hay polos y ceros en cantidad par o impar.

• Al situarnos en el eje real en el punto -2, o -1, o en 0, o en, encontramos a la derecha 2 polos y dado que es par en esta sección no existe LGR sobre el eje.

• Si nos situamos en 2, o 3, o 4 no hay polos ni ceros a la derecha, entonces no existe LGR hacia ese lado sobre el eje real.

• Si nos situamos en -3, o en -4, o en -5, o en -6 o en -10, o en -20, o en -∞ del eje real nos encontramos a la derecha con “un cero” y “dos polos”, es decir tres polos o ceros. Como es impar en todo ese rango, hay lugar geométrico de las raíces (LGR) sobre el eje real de , asi:

• Asíntotas:

Cantidad de asíntotas:

Todo el eje real negativo es la asíntota.

• Puntos de cruce con el eje imaginario del LGR.

Aplicando Routh:

k-4 = 0 Valor de k en

...