Teoria De Juegos Mxn Ejercicios Resueltos

TEORÍA DE JUEGOS

La Teoría de Juegos consiste en la elaboración de recomendaciones sobre la forma razonable de las acciones de cada uno de los contrincantes en el curso de una situación de conflicto; es prácticamente una teoría matemática de las situaciones en conflicto. En un conflicto de juego los dos oponentes son llamados jugadores y cada uno de ellos tendrá un numero finito o infinito de estrategias; a cada estrategia se encuentra asociada una recompensa que un jugador paga a otro.

Estos juegos se conocen como juegos de suma cero entre dos personas debido a que la ganancia de un jugador es igual a la pérdida del otro y los intereses de los jugadores son completamente opuestos, por lo tanto, es suficiente con resumir el juego en términos del pago a solo uno de los dos jugadores, es decir, al designar dos jugadores A y B con estrategias m y n, respectivamente, el juego se representa mediante una matriz de pagos al jugador A, de la siguiente manera:

B1

B2

B3

…

Bn

A1

a11

a12

a13

…

a1n

A2

a21

a22

a23

…

a2n

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Am

am1

am2

am3

…

amn

La anterior representación indica que si A usa la estrategia i y B la estrategia j, el pago a A es aij y el pago a B es - aij.

En la teoría de juegos se denomina jugada a la elección de una de las estrategia dadas; estas jugadas pueden ser personales, cuando la elección de la estrategia se hace conscientemente, o al azar, cuando la elección de la estrategia es realizada por un mecanismo de elección casual y no por el jugador. Para que el juego esté matemáticamente definido, se debe indicar para cada estrategia la distribución de probabilidad.

Su objetivo principal es elaborar recomendaciones para elegir la estrategia óptima, definida como la estrategia que garantiza al jugador la ganancia media máxima posible o la pérdida media máxima posible a medida que el juego se repite reiteradamente, de cada uno de los jugadores

SOLUCIÓN OPTIMA DE JUEGOS DE SUMA CERO ENTRE DOS PERSONAS

Debido a que los juegos se concentran en conflictos de interés, la solución optima del problema elige una o más estrategias para cada jugador de tal manera que cualquier cambio en las estrategias elegidas no mejore el pago a cualquiera de los dos jugadores.

Estas soluciones pueden realizarse de dos formas: estrategia pura, con una sola estrategia, o estrategia mixta, con varias estrategias que se mezclan de acuerdo con probabilidades predeterminadas.

Ejemplo 1

Dos compañías A y B venden dos marcas de antigripales, La compañía A se anuncia por radio (A1), televisión (A2) y periódicos (A3). La compañía B, además de utilizar radio (B1), televisión (B2) y periódicos (B3), también manda por correo folletos (B4). Dependiendo del ingenio y la intensidad de la campaña de publicidad, cada compañía puede capturar una porción del mercado de la otra. La siguiente matriz resume el porcentaje del mercado capturado o perdido por la compañía A:

B1

B2

B3

B4

Mínimo de la fila

A1

8

-2

9

-3

-3

A2

6

5

6

8

5

Maximin

A3

-2

4

-9

5

-9

Máximo de la columna

8

5

9

8

Minimax

La solución del juego se basa en asegurar lo mejor de lo peor para cada jugador. Si la compañía A selecciona la estrategia A1, entonces sin importar lo que haga B, lo peor que le puede suceder es que pierda 3% de la participación del mercado a favor de B. Esto se encuentra representado por el valor mínimo de las entradas de la fila 1. De manera similar, el peor resultado de la estrategia A2 es que capture 5% del mercado de B y el peor resultado de la estrategia A3 es que pierda 9% de la participación del mercado a favor de B. Los anteriores resultados se separan en la columna “mínimo de fila” y, para lograr lo mejor de lo peor, la compañía A escoge la estrategia A2 debido a que a esta corresponde el mayor valor de la columna “mínimo de fila” denominado “Maximin”.

Considerando ahora la estrategia de B se requiere escoger el valor mínimo “Minimax” de la columna “Máximo de la columna” para lograr lo mejor de lo peor de B debido a que la matriz de pago esta dada para A. Tenemos así que la estrategia a escoger es B2.

La solución optima del juego debe seleccionar las estrategias A2 y B2, es decir, ambas compañías deben anunciarse en televisión Esto indica que el resultado estará a favor de A debido a que su participación en el mercado aumentará un 5%, por lo tanto, decimos que el valor del juego es 5% y que A y B usan una solución de punto de equilibrio. Esta solución garantiza que ninguna compañía está tentada a seleccionar otra estrategia debido a que esto ocasionaría perdidas en la participación del mercado, es decir, en caso de que B decida moverse a cualquiera de las otras estrategias, A puede escoger quedarse con la elegida ocasionando así una perdida de participación de mercado para B del 6% u 8% según la estrategia elegida por B, de igual manera, si A decide cambiar a la estrategia A3 , B puede moverse a B3 ocasionando así un incremento del 9% en la participación del mercado a favor de B.

Ejemplo 2

Dos jugadores A y B participan en un juego de lanzamiento al aire de una moneda. Cada jugador, desconocido para el otro, elige cara (C) o cruz (Z). Ambos jugadores revelarán sus elecciones de forma simultánea. Si concuerdan (CC o ZZ), el jugador A recibe 1 dólar de B, de otra forma, A paga 1 dólar a B.

La siguiente matriz de pagos para el jugador A da los valores mínimo

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