Transformada De Fourier
Enviado por lsantas35 • 2 de Mayo de 2013 • 1.154 Palabras (5 Páginas) • 921 Visitas
TRANSFORMADA DE FOURIER
CONCEPTOS BÁSICOS
La idea de las series de Fourier vista en la clase anterior permite pensar en la
representación de funciones no periódicas, asimilándolas a una periódica de período
infinito. Con esta idea se llega a la transformada de Fourier de una función, definida
por:
F w f t e-iwtdt ¥
-¥ ( ) = ∫ ( )
En base a ella se puede representar a la función f mediante una integral, igual que antes
lo hacíamos mediante una sumatoria en el caso de series de Fourier:
w w
p
f t F eiwtd ∫¥
-¥
= ( )
2
1
( )
La F vendría a jugar, pues, el rol de un “coeficiente”. Ambas expresiones se suelen
relacionar mediante la simbología:
f (t)« F(w )
En realidad, pocas veces se apela al cálculo directo para obtener una transformada, sino
que se las genera a partir de otras conocidas (p. 264 Gabel) más el uso de las
propiedades de la transformada (p. 275 Gabel). Iremos introduciendo algunas de estas
propiedades en los ejemplos resueltos.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.) Cálculo directo de una transformada. Calcular la transformada de Fourier de la
función f dada por
< < -
= +
0 demás casos
2
7
1 cos
( ) p p p
t
t
f t
SOLUCIÓN
F f t e i tdt p ( t )e iwtdt
p
w w p -
-
¥ -
-¥ = ∫ = ∫ + 2
( ) ( ) 1 cos 7
Esta integral es fácil pero laboriosa. Una manera de resolverla con relativa practicidad
es expresar el coseno en su forma compleja. Al hacer los cálculos queda:
2 3
2 2
2 2
2 3
2 2
2 2
49 4
2
7
14 sen
2
7
49 4 1 cos
49 4
2
7
14 sen
2
7
49 4 1 cos
( )
p w w
p w p pw p
p w w
p w p pw p
w
pw
pw
- +
+
- + +
-
+
- +
+
- + +
=
-
-
e i i
ie i
F
i
i
2.) Propiedad de simetría. Eligiendo el método más conveniente, calcular la
transformada de Fourier de la función:
it
f t
+
=
4
5
( )
SOLUCIÓN
En las tablas encontramos que
a iw
e atu t
+
- « 1
( ) . Por lo tanto estamos tratando de
encontrar la transformada de una función que, si estuviera expresada en w, sería la
transformada de una función conocida. Para casos como éste cabe aplicar la propiedad
de simetría, que expresa que si f(t) «F(w), entonces F(t) « 2pf(–w).
En nuestro caso, podemos escribir, aplicando la mencionada expresión de tablas y la
propiedad de linealidad:
w i
e tu t
+
- «
4
5
5 4 ( ) . Por lo tanto por la propiedad de simetría
podemos escribir 2 5 ( )
4
5 « p 4( w ) -w
+
e- - u
it
. Veamos que u(–w) es la imagen especular
de u(w), y se puede expresar como u(–w) = 1- u(w). Reescribiendo la expresión anterior
tendremos finalmente:
10 [1 ( )]
4
5 p 4w w e u
it
« -
+
3.) Corrimientos. Aplicando propiedades de la transformada de Fourier, calcular y
graficar el espectro de amplitud de la función f(t) = 6[u(t – 3) – u(t – 7)].
SOLUCIÓN
La función es un pulso de anchura 4 y amplitud 6 centrado en t = 5. Sabemos de tablas
que si gT es un pulso de anchura T y amplitud 1 centrado en t = 0, la transformada de
Fourier es GT(w) = Tsinc(wT/2), donde sinc(x) = senx/x. Pero aquí el pulso está corrido
en 5 unidades. Nuestra función puede decirse entonces que equivale a 6g4(t – 5).
Para transformar esta última, recordemos la propiedad de retardo, que permite manejar
funciones con corrimientos en la variable t. Ella expresa que si f(t) « F(w), entonces
( ) 0 ( )
0 f t t e w F w - « -i t . De esa manera, en nuestro caso particular tenemos:
( ) 6 ( 5) 6 ( ) 6 5 4sinc(2 ) 24 5sinc(2 ) ( )
4
5
4 f t = g t - « e-iw G w = e-iw w = e-iw w = F w
Para graficar el espectro de amplitud, tengamos en cuenta que la exponencial
...