Variables aleatorias discretas

TEMA 10: MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Modelo de Bernouilli

● Corresponde a experimentos como el lanzamiento de una moneda. Sirve de modelo para muchas situaciones en las que sólo puede haber dos posibles resultados complementarios (A y no A): uno de ellos con probabilidad p y el otro con probabilidad (1-p).

Ejemplos:

- Inspeccionar un objeto para ver si es o no es defectuosos.

- Preguntar a una persona si tiene o no tiene trabajo

- Comprobar si una empresa está o no está en quiebra

- Ver si un alumno apruebe o no aprueba un examen

● Normalmente se denomina éxito (x=1) al suceso con probabilidad p y fracaso (x=0) al suceso con probabilidad 1-p. Por tanto, diremos que una variable aleatoria x tiene una distribución de Bernouilli si:

● Si x es una variable aleatoria con distribución de Bernouilli su media será:

y su desviación típica:

Ejemplo:

Sabemos que una máquina produce un 3% de piezas defectuosas.

La variable es x=1 si la pieza no es defectuosa y x=0 si la pieza es defectuosa, es decir:

La variable x sigue una distribución de Bernouilli con p=0,97, luego:

La distribución Binomial

● Se repite n veces de forma independiente un experimento de Bernouilli con probabilidad de éxito igual a p. La variable aleatoria x que expresa el número de “éxitos” obtenidos en este proceso sigue una distribución binomial con parámetros n y p: B(n,p).

Ejemplo:

En un país en el que está en paro el 25% de la población activa, se realiza una encuesta sobre distintos temas a 12 personas.

La variable aleatoria x que expresa el nº de encuestados que están en paro sigue una binomial con parámetros n=12 y p=0,25, es decir, una B(12,0,25).

● La distribución de Bernouilli es B(1,p), un caso particular de la binomial en que el experimento se realiza una sóla vez.

● Para conocer la distribución de una variable binomial x tendremos que especificar la probabilidad de que tome cualquier valor k entre 0 y n. La Tabla 1 del Apéndice B de Peña y Romo, presenta la probabilidad de k éxitos en una B(n,p), para distintos valores de n y de p.

Ejemplo: (continuación del B(12,025))

La probabilidad de que al realizar la encuesta se pregunte a 4 personas en paro (es decir, P(x=4)) se puede encontrar en la Tabla 1 (con n=12, k=4 y p=0,25) y es igual a 0,1936.

● Si x es una variable B(n, p) su media, varianza y desviación típica serán:

Para un valor de n, la dispersión es máxima cuando p=0,5.

Ejemplo: (continuación del B(12,025))

● La forma de la distribución depende del valor de p: si es menor que 0,5 es asimétrica a la derecha, si es mayor que 0,5 asimétrica a la izquierda y si es igual a 0,5 es simétrica.

Ejercicio 16.2 (Peña y Romo)

Se sabe que el 40% de los habitantes de una ciudad consumen

café diariamente:

a) Se pregunta a una persona si toma café a diario. La variable aleatoria x1 vale 1 si la respuesta es afirmativa y 0 en caso contrario. Hallar la media y la desviación típica de x1.

La distribución de x1 es una Bernoulli con p=0,4:

Si toma café: con probabilidad p=0,4

Si no toma café: con probabilidad 1-p=0,6

Luego:

b) Se encuesta a 20 personas sobre su consumo diario de café. Sea x el nº de personas encuestadas que consume café a diario. Calcular la probabilidad de que x sea igual a 12. Hallar la media y desviación típica de x. Obtener la probabilidad de que nadie tome café a diario y de que lo hagan al menos tres personas.

La variable aleatoria x sigue una distribución B(20,0,4) (n=20 y p=0,4).

Mirando en la Tabla 1 para k=12, n=20 y p=0,4 tenemos que:

La media y desviación típica de x son:

La probabilidad de que ninguna persona tome café diariamente, es decir, podemos encontrarla en la Tabla 1 para k=0, n=20 y p=0,4:

La probabilidad de que al menos tres personas tomen café a diario será:

Mirando en la Tabla 1 los valores para k=0, k=1 y k=2 (para n=20 y p=0,4) tenemos:

Ejercicio 16.3 (Peña y Romo)

Un partido político consigue el 20% de los votos en unas elecciones. Se realiza una encuesta a 15 personas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya entre ellas ningún votante del partido?

Sea x el nº de votantes

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