Momento De Inercia

Subtema 2.5.1. Centro de masa y momento de inercia de un cuerpo rígido.

El centro de gravedad de un cuerpo es el punto donde se encuentra aplicada la resultante de la suma de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre cada una de las partículas del mismo. Si el cuerpo es simétrico y homogéneo, la resultante de todas las fuerzas gravitatorias se localiza en el centro geométrico. Si se suspende un cuerpo de su centro de gravedad, queda en completo equilibrio, tanto de traslación como de rotación. Si un cuerpo no es simétrico, como es el caso de un bate de béisbol o el de una piedra, su centro de gravedad puede encontrarse fácilmente si se suspende el cuerpo en dos puntos diferentes. El cruce de las dos líneas que sucesivamente ocupan la posición vertical, es el centro de gravedad.

Por centroide se entiende el punto donde estaría el centro de gravedad, si el espacio vacío fuera ocupado por un cuerpo. Por ejemplo, un cuadrado tiene centroide, pero un pedazo de madera cuadrangular tiene centro de gravedad, lo mismo sucede con un tubo metálico, éste tendrá centroide pero una barra cilíndrica tiene centro de gravedad.

El centro de masa de un cuerpo se localiza en aquel punto en el que para cualquier plano que pasa por él, los momentos de las masas a un lado del plano son iguales a los momentos de las masas del otro lado:

Con base en su centro de gravedad, un cuerpo puede tener un equilibrio estable, inestable o indiferente. Para que un cuerpo apoyado esté en equilibrio se requiere que la línea de acción de su peso, o sea la vertical que pasa por su centro de gravedad, pase también por su base de apoyo.

Cuando la vertical del centro de gravedad no pasa por el apoyo, el peso y la reacción dejan de ser colineales y se trasforman en un par de fuerzas con su correspondiente momento de rotación, ocasionado que el cuerpo gire o caiga.

Un cuerpo está en equilibrio estable cuando al moverlo vuelve a ocupar la posición que tenía debido al efecto de la fuerza de gravedad. Cuando se mueve, su centro de gravedad sube, por ello trata de regresar a su posición inicial.

Un cuerpo tiene equilibrio inestable cuando al moverlo baja su centro de gravedad, por lo que trata de alejarse de su posición inicial buscando tener un equilibrio estable.

El equilibrio de un cuerpo es indiferente cuando en cualquier posición su centro de gravedad se mantiene a la misma altura, por lo cual no trata de conservar su posición original ni alejarse de ella.

En general, la estabilidad de un cuerpo apoyado sobre su base aumenta a medida que es mayor la superficie de sustentación y disminuye al ser mayor la altura de su centro de gravedad. Por ello, los autos de carreras tienen su centro de gravedad lo más bajo posible para una mayor estabilidad.

Hemos visto que una partícula que se mueve en un círculo de radio R tiene una velocidad lineal dada por:

v = ω R

Si la partícula tiene una masa m, tendrá una energía cinética que se obtiene por:

Ek = ½ mv2 = ½ m ω2 R2.

Un cuerpo rígido se puede considerar formado por muchas partículas de diferentes masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación. La energía cinética total de un cuerpo será entonces la suma de las energías cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo. Así,

Ek = Σ1/2m ω2 r2.

Puesto que la constante ½ y la velocidad angular ω son las mismas para todas las partículas, se puede reorganizar la ecuación anterior y obtener:

Ek = ½ (Σ mr2) ω2 .

La cantidad entre paréntesis Σ mr2, tiene el mismo valor para un cuerpo dado independientemente de su estado de movimiento. Se define esta cantidad como el momento de inercia y se expresa por I:

I = m1r21 + m2r22 + m3r23 + …

o bien : I = Σ mr2 .

La unidad del Sistema Internacional para el momento de inercia es kg. m2. y la unidad para el sistema Inglés es el slug . ft2. utilizando esta definición, podemos expresar la energía cinética rotacional de un cuerpo en términos de su momento de inercia y de su velocidad angular:

Ek = ½ I ω2 .

Note la similitud entre los términos m para el movimiento lineal e I para el movimiento rotacional.

Ejercicios de momento de inercia.

1.- Calcule el momento de inercia para el sistema ilustrado en la figura siguiente. El peso de las barras que unen las masas es despreciable y el sistema gira con una velocidad angular de 6 rad/seg.

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