Axiomas y Teoremas

AXIOMAS Y TEOREMAS.

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

1)La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

0  p(A)  1

2)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral  debe de ser 1.

p() = 1

3)Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AB) = p(A) + p(B)

Generalizando:

Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

p(A1A2.........An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

TEOREMAS



TEOREMA 1. Si  es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra  debe ser cero.

A

p()=0

DEMOSTRACIÓN:

Si sumamos a un evento A cualquiera, como  y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(A)=p(A) +p()=p(A). LQQD

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)

DEMOSTRACIÓN:

Si el espacio muestral , se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego =AAc, por tanto p()=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p()=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD

TEOREMA 3. Si un evento A  B, entonces la p(A)  p(B).

DEMOSTRACIÓN:

Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)0 entonces se cumple que p(A)p(B). LQQD

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AB)

DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AB, por tanto, A=(A \ B)(AB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AB). LQQD

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AB)=p(A)

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