ECUACION CUADRATICA

ECUACIÓN CUADRATICA.

Forma general de una ecuación cuadrática.

Toda ecuación cuadrática puede ordenarse en la forma general: ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c son números reales , a  0 y “ x” es la variable o incógnita .

Soluciones o raíces de una ecuación cuadrática.

Se puede observar que el miembro derecho de la forma general de la ecuación cuadrática, es decir:

ax2 + bx + c es un trinomio de segundo grado. Los valores, o valor de x que anulan a este trinomio, se llaman también ceros del trinomio y son las soluciones o raíces correspondientes a la ecuación. ax2 + bx + c = 0

Note que el trinomio ax2 + bx + c es de segundo grado , tendrá a lo sumo dos ceros, por tanto, una ecuación cuadrática tendrá como máximo dos raíces.

Las ecuaciones en una sola variable, cuyo grado es dos, se conocen simplemente como ecuaciones cuadráticas.

Estudio del discriminante de una ecuación cuadrática.

Sea ax2 + bx + c = 0, una ecuación cuadrática,  se llama discriminante de la ecuación y se define como  = b2 – 4ac, el cual nos dará el siguiente resultado.

1. Si   0 entonces la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, tiene dos soluciones reales.

2. Si  = 0 entonces la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, tiene una solución real.

3. Si   0 entonces la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, no tiene soluciones reales, y la solución de la ecuación es el conjunto vacío.

Ejemplos:

Hallar el discriminante de las siguientes ecuaciones y determine el carácter de las raíces o soluciones.

(1). 3x2 + 5x – 2 = 0 (4). 3x2 - 2x + 5 = 0 (7). 2x2 - 9x + 7 = 0

(2). 2x2 - 4x + 1 = 0 (5). x2 - 10x + 25 = 0 (8). 36x2 + 12x + 1 = 0

(3). 4x2 - 4x + 1 = 0 (6). x2 - 5x – 5 = 0 (9). 4x2 - 5x + 2 = 0

Resolución de ecuaciones cuadráticas por medio de la formula general.

La formula general que nos da la o las soluciones reales de la ecuación cuadráticas ax2 + bx + c = 0

, donde , se llama discriminante y se define como  = b2 – 4ac

Ejemplo.

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por la formula general.

(1). 3x2 – 5x + 2 = 0 (2). 2x2 – 6x + 11 = 0 (3). x2 + 12x + 36 = 0

ECUACIONES CUADRÁTICAS FRACCIONARIAS:

También se tiene que muchas ecuaciones fraccionarias racionales generan ecuaciones de primer grado o cuadráticas.

Su resolución, después de haber aplicado el método de eliminación de denominadores y simplificación

Respectiva, Es importante tener presente en todo momento, que la división por cero no existe, por lo que debemos restringir los denominadores y consultar estas restricciones en el momento de decidir el conjunto de solución.

(1).

(2).

(3).

Ejemplos:

Resuelva las siguientes ecuaciones y compruebe las soluciones.

(1). = 0 (3). = 0

(2). = 0 (4).

ECUACIONES CON RADICALES:

Para resolver ecuaciones con radicales, primero hay que transfórmalas en ecuaciones sin radicales. Esto se logra elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación.

Ejemplos:

Resuelva cada ecuación radical y compruebe la soluciones.

(1). - 3 = 0 (4). + 9 = 3

(2). + 1 = 2x (5). = 0

(3). + x = 7 (6).

Ejercicios:

Resuelva las siguientes ecuaciones radicales y compruebe las soluciones.

(1). - 3 = 0 (5). 7 - = 2

(2). - 4 = 0 (6). 2 = 2

(3). = 0 (7). 2 + 1 = 5

(4). 10 = 3 - 5 (8). - 8 = -x

SISTEMAS DE ECUCIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS:

Las siguientes expresiones son ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

(1).

(2).

(3).

En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas al par ordenado ( x, y) de números reales

Que satisfaga ambas ecuaciones, se le llama solución del sistema.

Cuando el sistema tiene solución, se le llama compatible, y si no tiene solución, se le llama incompatible, existen diversos métodos para buscar la solución de un sistema de ecuaciones lineales

Con dos incógnitas. Entre ellos:

1. Método de sustitución.

2. Método de suma y resta o reducción.

Método de suma y resta:

Este método consiste en sumar las dos ecuaciones para obtener otra ecuación , pero con una sola variable, entonces al despejar ésta se puede hallar el valor de la incógnita.

Ejemplos:

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

(1). (3).

(2). (4).

Ejercicios:

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

(1). (5).

(2). (6)

(3). (7).

(4). (8).

PROBLEMAS DE APLICACION :

Ejemplos:

1. La diferencia de dos números es de 14 y de su suma es 13. Hallar los números.

2. La suma de dos números es de 1529 y su diferencia es de 101. Hallar los números.

3. En un cine 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan $ 512 y 17 entradas de niño

y 15 de adulto cuestan $ 831 . Hallar el precio de cada entrada.

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