ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
Enviado por Cristina Martínez • 19 de Noviembre de 2015 • Resumen • 2.303 Palabras (10 Páginas) • 624 Visitas
UNIDAD 1
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Definición de ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es aquella que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en dos grandes tipos: ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales.
Si una ecuación incluye solo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:
3dy/dx + 9y = 15
(2x+3y)dx+8ydy=0
du/dx-dv/dx=5x
(d^2 y)/(dx^2 )-2 dy/dx+ 3y=0
Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a dos o mas variables independientes se llama ecuación diferencia parcial.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales
∂u/∂y=-∂u/∂x
x ∂u/∂y+ y ∂u/∂y=u
(∂^2 u)/(∂x^2 )=(∂^2 u)/(∂t^2 )
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se pueden clasificar de acuerdo con su orden y su linealidad.
Clasificación según el orden. El orden de la derivada mas alta de la ecuación es lo que se llama el orden de la ecuación. Poe ejemplo:
Ecuación diferencial Orden
(1-x) y^''-4xy^'+96y=cos5x Segundo
yy^'+2y=1+x^2 Primero
x^(3 ) y^((4))- x^2 y^''+ 4xy-3y=0 Cuarto
dy/dx= √(1+ ((d^2 y)/〖dx〗^2 ) ) Segundo
La clasificación según la linealidad. Las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades:
El grado de la variable dependiente y de sus derivadas es uno, esto es, el exponente de cada una es uno.
El coeficiente de la variable dependiente y de sus derivadas solo depende de la variable independiente.
Una ecuación que no posee estas propiedades se dice que no es lineal.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
(1-x) y^'-4xy^'+5y=cosx
x^3 y^((4)) 〖- x〗^2 y^''-4xy^'-3y=0
(sinx ) y^''-(cosx ) y^'=2
Ejemplo de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales:
Ecuación diferencial Causa de la linealidad
yy^'+9y=8-x^2 El coeficiente de y'depende de la variable dependiente y
(d^4 y)/(dx^2 )+2y^2=0 El grado de y no es 1
1.2 Soluciones de ecuaciones diferenciales
Metodo de separación de variables
Se dice que una ecuación diferencial de forma
(1.1)
dy/dx=(g(x))/(h(y))
Es separable o tiene variables separables. Aquí la función h(y) debe ser diferente de cero para todos los valores de y en los que esta definida.
Solución:
A partir de la ecuación (1.1) se tiene que
(1.2)
∫▒〖h(y)〗 □(24&dy=∫▒〖g(x)〗 □(24&dx)+c)
Integrando ambos miembros se obtiene una familia uniparamétrica de soluciones, la cual queda expresada implícitamente.
En los problemas del 1 al 12 resuelva la ecuación diferencial mediante el método de separación de variables.
dy/dx=cosx
Solución:
Separamos variables
dy=cos2x dx
E integramos haciendo el cambio de variable u=2x,du=2dx
∫▒〖□(24&dy)=1/2〗 ∫▒〖2 cos〖2x□(24&dx)〗 〗
El resultado es
y=1/2 sin〖2x+c〗
2.dx-x^2 dy=0
Solución:
Separamos las variables
dx/x^2 = □(24&dy)
E integramos
∫▒dx/x^2 =∫▒□(24&dy)
La solución es
y= -1/x+c
3. (x+1) dy/dx=1
Solución
Separamos variables
dy/dx=x/(x+1) □(⇒┬ ) □(24&dy)=x/(x+1) □(24&dx)
E integramos
∫▒□(24&dy)=∫▒x/(x+1) dx
Para simplificar la integral se convierten en
∫▒□(24&dy=∫▒(1-1/(x+1)) ) dx
Cuya solución es
y=x-ln|x+1|+c
4. xy^'=4y
Solución:
Primero escribimos la ecuación con sus variables separadas
x dy/dx=4y □(⇒┬ ) xdy=4ydx □(⇒┬ ) dy/4y=dx/x
Y luego integramos ambos lados
1/4 ∫▒dy/y=∫▒dx/x
El resultado es
1/4 ln|y|=ln|x|+c
Para obtener la solución en forma explicita se hace c=ln|k| y se aplica la propiedad ln|a|+ln|b|=ln|ab|
1/4 ln|y|=ln|x|+ln|k|=ln|xk|
Tomando exponenciales de ambos lados para deshacernos de los logaritmos naturales y aplicando la propiedad aln|b|=ln|b|^a nos queda que
e^(1/4 ln|y| )=e^ln|xk| □(⇒┬ ) y^(1/4)=xk
Finalmente
y=x^4 c
5. dy/dx=y^3/x^2
Solución
Separamos las variables
dy/y^3 =dx/x^2
E integramos
∫▒〖y^(-3) dy=∫▒〖x^(-2) dx □( ⇒┬ )〗〗 y^(-2)/(-2)=x^(-1)/(-1)+c □(⇒┴ ) y^(-2)=2x^(-1)+k
Este resultado con cuerda con
y^(-2)=〖2x〗^(-1)+k
√((2+kx)x)/(2+kx)-√((2+kx)x)/(2+kx)
6.dy/dx=(x^2 y^2)/(1+x)
Solución
Separamos variables e integramos
(1+x)dx/x^2 =y^2 □(24&dy)□(⇒┴ ∫▒(1+x)dx/x^2 )=∫▒y^2 dy□(⇒┴ )∫▒1/x^2 dx+∫▒1/x^2 dx+∫▒xdx/x^2 =∫▒y^2 dy
El resultado es
1^(-1)/(-1)+ln|x|=y^3/3+c □( ⇒┴ ) -3+3xln|x|=xy^3+3xc
7.dy/dx=e^(3x+2y)
Solución
Primero expresamos en forma diferencial la ecuación dada
dy= e^(3x+2y) dx
Utilizando propiedades de los exponenciales, separando variables e integrando
dy=e^3x e^2y dx □(⇒┴ ) 2∫▒〖ydy=∫▒x/(x+1)〗 dx
Para resolver la integral del lado derecho hacemos la división
x/(x+1)=1-1/(x+1) dx
Entonces
2∫▒〖ydy=∫▒〖dx-∫▒〖1/(x+1)
...