Ecuaciones e inecuaciones

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para ciertos valores de las letras a las que denominamos incógnitas.

Las ecuaciones nos permiten representar problemas a través de expresiones algebraicas, para encontrar su solución. Resolver una ecuación, implica encontrar todos los valores posibles de las incógnitas que hagan la igualdad verdadera, a estos valores se lo denomina conjunto solución. Las raíces o soluciones de una ecuación son aquellos valores de las incógnitas que verifican la igualdad. En este curso solamente nos ocuparemos de las ecuaciones lineales y cuadráticas con una incógnita. Ecuación lineal Una ecuación lineal o de primer grado en una variable x, es aquella que se puede expresar de la siguiente forma: bx + c =0 Llamamos: • b, al coeficiente del término lineal • c, al coeficiente del término independiente Donde b , c, son constantes y b tiene que ser distinta de cero (𝒃 ≠ 𝟎). Propiedad uniforme y cancelativa: Si en una ecuación se suma, resta, multiplica o divide un mismo número a ambos lados, entonces se obtiene una ecuación equivalente a la dada y por lo tanto se mantiene la igualdad.

INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas que se verifican para algunos valores de sus letras, a las que denominamos incógnitas. El conjunto de todos los valores que verifican una inecuación se denomina CONJUNTO SOLUCIÓN y se lo representa mediante un intervalo real. Resolución de una inecuación Una inecuación se resuelve como una ecuación (despejando la incógnita a través de la propiedad uniforme); salvo en el caso en que se divida o multiplique a ambos miembros por un número negativo, ya que es estos casos se debe invertir el sentido de la desigualdad.

Ecuaciones e inecuaciones 4.1. El lenguaje matematico ´ Innumerables situaciones correspondientes a diversas areas y situaciones co- ´ tidianas pueden ser modeladas mediante ecuaciones e inecuaciones. Para resolver un problema matematicamente, el primer paso es traducirlo del lenguaje or- ´ dinario al lenguaje algebraico. Este es precisamente el objetivo de esta seccion: ´ traducir una situacion concreta al lenguaje matem ´ atico, transform ´ andola en una ´ ecuacion, inecuaci ´ on o un sistema de ellas (c ´ omo resolver el planteo obtenido ´ sera el objetivo de las siguientes secciones). ´ Antes de “traducir” problemas concretos, comencemos expresando cosas mas simples. En la siguiente lista se escriben en lenguaje matem ´ atico algunas ´ frases frecuentes. Comprender esta forma de expresarlas sera fundamental para ´ el planteo de problemas espec´ıficos. El doble de un numero ´ x ↝ 2x Las tres cuartas partes de un numero ´ x ↝ 3 4x Se aumenta en 5 al triple de un numero ´ y ↝3y + 5 El triple del numero ´ y, mas´ 5 ↝3y + 5 El triple del numero ´ y mas´ 5 ↝3(y + 5) La mitad del consecutivo de un numero entero ´ x ↝ 1 2 (x + 1) El cuadrado de la mitad de un numero ´ z ↝ � z 2 � 2 El numero ´ x supera al numero ´ y en 30 unidades ↝ x = y + 30* Un numero entero ´ x mas su consecutivo ´ ↝ x + (x + 1) *Es frecuente ver que esta expresion es traducida como ´ x + 30 = y. Este error puede evitarse pensando que si el numero ´ x supera a y, significa que y es mas peque ´ no, por lo que hay que sumarle ˜ a el la cantidad necesaria para igualar a ´ x. 97 Manual de Matemática preuniversitaria Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones Ahora s´ı, plantearemos en lenguaje algebraico algunas situaciones concretas. Ejemplo 82. Usando el lenguaje matematico. ´ Si al doble de un numero se le ´ resta su mitad resulta 84. ¿Cual es el n ´ umero? ´ Solucion: ´ Llamemos x al numero buscado (este paso es fundamental, es decir, ´ antes de comenzar a plantear un problema se debe indicar siempre que representa ´ cada letra o s´ımbolo utilizado). En el enunciado aparecen involucrados el doble del numero (es decir ´ 2x) y tambien su mitad ( ´ x/2), y establece que 2x − x 2 = 84. En la seccion siguiente veremos c ´ omo resolver la igualdad anterior, por ahora ´ solamente nos centraremos en el planteo. � Ejemplo 83. En un avion viajan 420 pasajeros de tres pa ´ ´ıses: argentinos, uruguayos y chilenos. Hay 40 chilenos mas que uruguayos, y de argentinos hay el ´ doble que de uruguayos y chilenos juntos. ¿Cuantos hay de cada pa ´ ´ıs? Solucion: ´ Denotemos con y a la cantidad de uruguayos que viajan en el avion. ´ Entonces la cantidad de chilenos es y + 40, y la cantidad de argentinos se representa como 2(y + (y + 40)). Luego, la traduccion algebraica del problema ´ es y + (y + 40) + 2(y + (y + 40)) = 420. � � El planteo matematico de algunos problemas es m ´ as sencillo si trabajamos ´ con mas de una inc ´ ognita. Este es el caso de las siguientes situaciones. ´ Ejemplo 84. Usando mas de una inc ´ ognita. ´ Hallar la medida de los lados de un rectangulo cuyo per ´ ´ımetro es 24 unidades, y cuyo lado mayor mide el triple que su lado menor. Solucion: ´ Para traducir esta situacion al lenguaje matem ´ atico, podemos llamarle ´ x a la longitud del lado menor del rectangulo, e ´ y a la del lado mayor. Puesto que su per´ımetro es 24, sabemos que 2x + 2y = 24. (A) Ademas se a ´ firma que el lado mayor mide el triple que el menor, es decir y = 3x. (B) Las dos igualdades (A) y (B) deben cumplirse simultaneamente. Esto se conoce ´ con el nombre de “sistema de ecuaciones”, y su resolucion ser ´ a estudiada en la ´ Seccion 4.4. ´ � 98 Manual de Matemática preuniversitaria 4.1. El lenguaje matematico ´ Ejemplo 85. Determinar las edades de dos personas sabiendo que la suma de sus edades hoy es de 64 anos, y que dentro de ˜ 8 anos el mayor tendr ˜ a el triple de ´ edad que el menor. Solucion: ´ Llamemos x a la edad que tiene hoy la persona menor, e y a la edad que tiene hoy la mayor. Sabemos que x + y = 64. (a) La edad de cada una dentro de 8 anos es ˜ x + 8 e y + 8, respectivamente. En ese momento, el mayor tendra el triple que el menor, por lo que para que sean ´ iguales hay que multiplicar la edad del menor por 3 (o dividir a la del mayor por 3). Es decir 3(x + 8) = y + 8. (b) Al igual que antes, las igualdades (a) y (b) deben cumplirse a la vez. � � Finalmente, veremos problemas en los que aparecen una o mas desigualdades ´ en lugar de una igualdad, las cuales reciben el nombre de inecuaciones, y seran´ estudiadas en detalle en secciones posteriores. Ejemplo 86. Usando desigualdades. Si al doble de la edad de Jerem´ıas se le resta 19 anos, el resultado es menor que ˜ 37. Pero si al tercio de su edad se le suma 10, entonces el resultado es mayor que 18. ¿Como se expresan mediante ´ desigualdades estas expresiones? Solucion: ´ Si llamamos x a la edad de Jerem´ıas, el enunciado afirma las dos condiciones siguientes: 2x − 19 < 37 y x 3 + 10 > 18. � En las secciones siguientes nos ocuparemos de resolver los planteos anteriores: ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Ejercicios 4.1 Expresar en lenguaje matematico las siguientes situaciones problem ´ aticas ´ (no resolverlas). Recordar definir siempre la/s variable/s involucrada/s, es decir, siempre se debe indicar que representa cada letra utilizada. ´ � 1. � El kilo de manzanas cuesta el doble que el kilo de limones. Si por 3 kilos de manzanas y 5 kilos de limones se pago $165, ¿cu ´ anto cuesta el kilo de ´ cada uno? 2. � Tres hermanos se reparten 1300 pesos. El mayor recibe el doble que el mediano, quien a su vez recibe el cuadruple que el peque ´ no. ¿Cu ˜ anto recibe ´ cada uno? 99 Manual de Matemática preuniversitaria Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones 3. � En un estadio de futbol hay 43200 personas. Si sabemos que hay 4800 ´ locales mas que visitantes, ¿cu ´ antos locales y cu ´ antos visitantes hay? ´ 4. �Se han consumido las 7/8 partes de un bidon de agua. A ´ nadiendo 38 litros ˜ se llena hasta las 3/5 partes. Calcular la capacidad del bidon. ´ 5. � Agust´ın hizo un viaje en su auto, en el cual consumio 20 litros de nafta. ´ El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumio 2/3 de la nafta que ´ ten´ıa el tanque, mientras que en la segunda etapa consumio la mitad de la ´ nafta que le quedaba en el tanque luego de la primera. Hallar una igualdad para determinar los litros de nafta que ten´ıa Agust´ın en el tanque antes de partir. 4.2. Resolucion de ecuaciones ´ Si se comprende el proceso que se utiliza, resolver ecuaciones puede ser mas´ simple de lo que uno imagina. Comencemos recordando que es una ecuaci ´ on. ´ � Una ecuacion´ es una igualdad entre dos expresiones conteniendo uno o mas valores desconocidos. ´ Las expresiones que aparecen a ambos lados del s´ımbolo = (igual) se llaman miembros de la ecuacion. ´ Aprenderemos a resolver ecuaciones que tengan solamente un valor desconocido. Al valor desconocido se lo llama incognita ´ , y se lo suele denotar con x, pero puede representarse con cualquier otra letra. Antes de ver como resolver ecuaciones, hay que entender qu ´ e signi ´ fica esto. Resolver una ecuacion es simplemente hallar el valor (o los valores) de la in- ´ cognita, de manera que la igualdad sea cierta si reemplazamos dicha inc ´ ognita ´ por cualquiera de los valores hallados. Dependiendo del caso, el valor buscado puede ser unico, pueden existir varios valores que hagan la igualdad cierta, o ´ puede ocurrir que no exista ninguno. Cualquier valor que haga cierta la igualdad se llama solucion´ de la ecuacion. Luego, una ecuaci ´ on puede tener una ´ unica ´ solucion, varias o ninguna, y es llamada ´ identidad cuando es verdadera para cualquier valor de la incognita. Cuando la ecuaci ´ on est ´ e modelando un problema ´ concreto, habra que elegir entre todas las soluciones de la ecuaci ´ on, aquellas que ´ tengan sentido en el contexto del problema, y descartar las que no lo tengan (ver Ejemplo 112). � Notar que siempre es posible saber por nuestra cuenta si hemos resuelto correctamente la ecuacion. Por ejemplo, para saber si ´ x = 1 es solucion de la ´ ecuacion´ x + 3 = 5 − x, 100 Manual de Matemática preuniversitaria 4.2. Resolucion de ecuaciones ´ podemos reemplazar x por 1 en ambos lados de la igualdad (miembros) para obtener 1 + 3 = 5 − 1, lo cual es cierto ya que el resultado es 4 en ambos. El procedimiento anterior se denomina verificacion´ , y consiste en comprobar que la igualdad se cumple al reemplazar la incognita por el o los valores ´ obtenidos. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Utilizaremos el s´ımbolo ⇐⇒ (que se lee “si y solo si”) para conectar dos ecuaciones que son equivalentes. La clave para resolver una ecuacion es ´ transformarla en ecuaciones equivalentes cada vez mas simples, utilizando la ´ propiedad uniforme. Esta propiedad establece que: Si se realiza la misma operacion con el mismo n ´ umero en ambos ´ miembros de una ecuacion, se mantiene la igualdad. ´ � La propiedad uniforme es la base para resolver ecuaciones, y es la que justifica lo que en lenguaje coloquial expresamos como “pasar” algo de un lado a otro de la igualdad. La palabra “pasar” simplemente abrevia una serie de pasos matematicos utilizados con el ´ fin de llegar a despejar la incognita ´ x. Por ejemplo, para resolver la ecuacion´ 6(x − 4)3 − 15 = 33 lo primero que uno hace es “pasar” al otro lado el numero ´ 15 sumando. Pero, ¿por que lo pasa sumando? Comprender esto es la clave para lograr resolver en ´ forma correcta las ecuaciones. En realidad, matematicamente lo que se hace es ´ lo siguiente: 6(x − 4)3 − 15 + 15 = 33 + 15 sumar 15 a ambos lados 6(x − 4)3 + 0 = 33 + 15 −15 + 15 = 0 por ser opuestos 6(x − 4)3 = 48 33 + 15 = 48. En lo anterior usamos la propiedad uniforme en el primer paso, luego usamos la propiedad asociativa de la suma, la propiedad de existencia del opuesto y, finalmente, que el cero es neutro para la suma. Todas esas operaciones y propiedades se resumen al decir informalmente que “pasamos” el 15 sumando, y en la practica los pasos intermedios se omiten o reducen. ´ De la misma forma, con el fin de despejar x ahora “pasamos” el numero ´ 6 para el otro lado. En este caso, como esta multiplicando “pasa” para el otro lado ´ 101 Manual de Matemática preuniversitaria Cap´ıtulo 4. Ecuaciones e inecuaciones dividiendo, ya que para eliminarlo lo que hacemos es dividir ambos lados de la igualdad por 6: ✁6(x − 4)3 ✁6 = 48 6 dividir ambos miembros por 6 (x − 4)3 = 8 6 6 = 1, por eso se “cancelan”. Ahora, aplicamos ra´ız cubica a ambos lados (es la forma de “pasar” el n ´ umero ´ 3 que esta como exponente hacia el otro miembro), y resolvemos para obtener ´ x − 4 = 2. En lo anterior hemos usado la formula (2.3.3) (p ´ agina 52) ya que, al ser ´ 3 un numero impar, el cubo y la ra ´ ´ız cubica se “cancelan” directamente. Finalmente, ´ sumamos 4 a ambos lados (informalmente, “pasamos el 4 sumando”) y se obtiene x = 6. Por fortuna, podemos verificar si este valor es correcto, poniendo 6 en cada lugar donde dec´ıa x en la ecuacion original: ´ 6(6 − 4)3 − 15 = 33. Es facil ver que el lado izquierdo da como resultado ´ 33, as´ı que la respuesta x = 6 es correcta. � Es muy importante dar la respuesta al problema, es decir, indicar el conjunto S cuyos elementos son las soluciones para la ecuacion. En este caso, tene- ´ mos S = {6}. � Se debe notar que no hay una unica manera de resolver una ecuaci ´ on, pero ´ s´ı es importante tener en cuenta la jerarqu´ıa entre las operaciones: para despejar la incognita siempre se comienza “pasando” al otro lado lo que est ´ a “m ´ as lejos” ´ de ella, en el sentido de la resolucion de operaciones combinadas. Por ejemplo, ´ una vez obtenido 6(x − 4)3 = 48 hubiera sido incorrecto si en el paso siguiente escribimos 6(x − 4) = √3 48. � El error se detecta rapidamente si, ante la duda, en lugar de “pasar” la potencia ´ aplicamos ra´ız cubica a ambos lados: ´ 6(x−4)3 = 48 ⇐⇒ 3 � 6(x − 4)3 = √3 48 ⇐⇒ √3 6⋅ ✄ 3 � (x − 4)✄ 3 = √3 48, es decir, √3 6 ⋅ (x − 4) = √3 48. � Esto muestra un camino diferente de proceder, “pasando” correctamente la ra´ız cubica antes que el 6, el cual tambi ´ en es v ´ alido. ´ 102 Manual de Matemática preuniversitaria 4.2. Resolucion de ecuaciones ´ Veremos ahora algunos ejemplos de resolucion de ecuaciones, ilustrando di- ´ ferentes tecnicas seg ´ un el caso, as ´ ´ı como ciertos errores frecuentes con el fin de evitarlos luego. Es importante la lectura de los mismos, ya que contienen las herramientas fundamentales para la resolucion de ecuaciones. ´ Ejemplo 87. Resolver la ecuacion´ 6(x + 2) − 21 = 3(x + 1). Solucion: ´ 6(x + 2) − 21 = 3(x + 1) 6x + 12 − 21 = 3x + 3 propiedad distributiva del producto 6x − 9 = 3x + 3 se resolvio´ 12 − 21 6x − 3x = 9 + 3 se sumo´ 9 − 3x en ambos miembros 3x = 12 se resolvio´ x = 4 se dividieron ambos miembros por 3. � El paso “se sumo´ 9 − 3x en ambos miembros” es lo que suele expresarse informalmente como “llevamos a un lado todo lo que tiene x, y al otro lo que no tiene x”. Luego de realizar la verificacion´ (este es un paso que debe hacerse siempre, aunque lo omitiremos algunas veces aqu´ı), podemos concluir que el conjunto solucion de la ecuaci ´ on es ´ S = {4}. � Ejemplo 88. Un error frecuente. � Cuando no se comprende el proceso utilizado para despejar la incognita en ´ una ecuacion, pueden cometerse errores como el siguiente: ´ 6x = 30 ⇐⇒ x = 30 −6 = −5. � Es decir, el numero ´ 6 que esta multiplicando a la inc ´ ognita se lo “pasa” dividien- ´ do, y como es positivo se lo “pasa” ademas como negativo. Incluso a veces, por ´ ser positivo, suele verse lo siguiente: 6x = 30 ⇐⇒ x = 30 − 6 = 24. � Todos estos errores pueden evitarse pensando cual es la propiedad que hace que ´ el numero ´ 6 se “elimine” del lado izquierdo: dividir ambos miembros por 6 como sigue 6x = 30 ⇐⇒ ✁6x ✁6 = 30 6 ⇐⇒ x = 5. � � 103 Manual de Matemática preun

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