La eliminación de Gauss

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inverso de una matriz y regla de Cramer

Un sistema de ecuaciones lineales se compone de dos o más ecuaciones lineales. La solución del sistema correspondiente se obtiene cuando todas las ecuaciones lineales del sistema intersectan en un punto particular.

Existe una variedad de métodos disponibles para encontrar la solución exacta de un sistema de ecuaciones lineales. Algunos de los métodos aceptados popular y ampliamente incluyen a la eliminación de Gauss, Método Gauss Jordan, inverso de una matriz y la regla de Cramer.

La eliminación de Gauss es un algoritmo específico planeado para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales. Con la ayuda del algoritmo de Gauss puede encontrarse con facilidad la matriz de rango, el determinante de la matriz y el inverso de la matriz.

La eliminación de Gauss se divide en dos partes básicas: Eliminación hacia Adelante y sustitución hacia atrás. La eliminación hacia adelante reduce el sistema de ecuaciones lineales hacia la forma triangular o degenerando las ecuaciones correspondientes con una solución zilch. Para ello, el algoritmo de Gauss usa las operaciones elementales de fila. Luego, con la ayuda de una solución de sustitución hacia atrás se crea el sistema correspondiente.

Otro método, la eliminación Gauss-Jordan es un método que hace uso de las operaciones elementales de fila para obtener matrices en forma de una forma escalonada reducida. Una matriz es llamada de forma escalonada si contiene 0 en cada pivote. La eliminación de Gauss-Jordan ubica el 0 tanto abajo como encima del pivote. Y por este motivo, este tipo de matrices son conocidas como de forma escalonada reducida. En caso el que Gauss-Jordan sea empleado en una matriz de origen cuadrado, entonces se puede utilizar para encontrar el inverso de la matriz.

El inverso de la matriz es otro método simple y fácil de usar para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales. En este método, hay algunos pasos a seguir. Estos son:

Paso 1: Marque las ecuaciones en forma de multiplicación de matriz con las variables una como matriz o y el otro como coeficiente.

Paso 2: Calcula el inverso de los coeficientes de matriz correspondientes.

Paso 3: Ahora, multiplique el coeficiente inverso de la matriz con ambos lados de la ecuación formada en el paso 1.

Paso 4: Cuando soluciones la multiplicación de la matriz, puedes obtener la solución.

La Regla de Cramer es otro método basado en una fórmula sencilla para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales. Este método se apoya en un hecho simple en el cual el valor de la variable de todos y cada uno puede determinarse tomando en cuenta el cociente de dos determinantes. Con el fin de entenderlo, vamos a ver un sistema de ecuaciones lineales con tres ecuaciones:

x + 3y – 2z = 5 3x + 5y + 6z = 7 2x + 4y + 3z = 8

El valor de la variable puede obtenerse por:

Es posible observar que el denominador está dado por los determinantes de los coeficientes de matriz, mientras que el numerador está elaborado a partir del determinante de esa matriz, en la cual 1 de las columnas fue intercambiada por un vector constante o en otras palabras término constante.

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE GAUSS-JORDAN

Es el método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. El método de Gauss es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ) en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas, ..., y la primera todas las incógnitas.

El siguiente esquema muestra cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicando este método.

Partimos, inicialmente, de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, compatible determinado:

En primer lugar, aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en la primera, la incógnita x1, obteniéndose un sistema equivalente:

En segundo lugar, aplicando nuevamente el método de reducción de forma sucesiva, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en las dos primeras, la incógnita x2, obteniéndose un sistema equivalente:

Para resolverlo despejamos, en primer lugar, la única incógnita de la última ecuación. Luego sustituimos ésta en la penúltima ecuación y despejamos la otra incógnita. Posteriormente, sustituimos dos de las tres incógnitas de la antepenúltima ecuación por sus valores y despejamos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación.

Las transformaciones que podemos realizar en dicha matriz para transformar el sistema inicial en otro equivalente son las siguientes:

Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.

Sumarle o restarle a una fila otra fila.

Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.

Cambiar el orden de las filas.

Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente. Es decir: si, por ejemplo, la 2ª columna corresponde a la incógnita y y la tercera a la incógnita z, y cambiamos el orden de las columnas, ahora la 2ª columna corresponde a la incógnita z y la tercera a la incógnita y.

Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras.

Eliminar filas nulas (0 0 0 ... 0).

Después de realizar las transformaciones que se consideren pertinentes, se obtendrá un sistema escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, las filas nulas (0 0 0 ... 0), que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con n incógnitas.

Analizando el sistema resultante, podemos

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