Logica De Conjuntos

MATEMÁTICA GENERAL I

TAREA

TEMA: TEORIA DE CONJUNTOS

ESTUDIANTE:

ZAMBRANO VALENCIA XAVIER CALIXTO

Ejercicios Propuestos

1.- Determina por comprensión los siguientes conjuntos.

a) N= {1, 2, 3, 4, 5, 6,7}

N= {x∈N;x≤7}

b) X = {1, 3, 5, 7,9,...}

X = { x,n∈N;x=2n-1}

c) Y = {2, 4, 6, 8,10,...}

Y = { x,n∈N;x=2n}

d) Z = {-3,-2,-1, 0, 1, 2,3}

Z = { x∈Z∪{0};-3≤x≤3}

e) W = {4, 8, 12, 16, 20,24,...}

W= { x,n∈N;x=4n}

2.- De acuerdo a los siguientes datos.

A = {1,5,9}, B = {3,4,5,8}, U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Determine por extensión los siguientes conjuntos:

AUB={1,3,4,5,8,9}

A∩B={5}

B-A={3,4,8}

(A∩B)c={0,1,2,3,4,6,7,8,9}

AcUBc=(A∩B)c={0,1,2,3,4,6,7,8,9}

Ac∩Bc={0,2,6,7}

3.- Un grupo de 20 niños realizan sus tareas. Para ello han pedido a sus padres que les faciliten papeles de colores, semillas, y pinturas de agua.

Se sabe que 15 utilizan las semillas, 13 utilizan pinturas de agua, y todos utilizan papeles de colores. Determine ¿cuántos niños utilizaron los 3 tipos de materiales?

N (Re)=20

C 2 S

5

10

3

P

N (Re)=20

N (S)=15

N (P) =13

N (C∩S∩P) =?

N (CUSUP) = N(C) +N(S) +N (P) -N(C∩S) -N(C∩P) -N (S∩P) +N(C∩S∩P)

Como todos utilizaron papeles de colores, el N(Re)= N(CUSUP)=20, eso quiere decir que N(CUSUP)c=0, luego para completar el número que indica la cardinalidad del referencial necesariamente el número de niños que solamente utiliza papeles de colores tiene que ser 2, además no se especifica si solo 15 utilizaron las semillas, o si solo 13 utilizaron la pintura de agua, por lo que, parte de las cardinalidades se puede ubicar también en N(C∩S) y N(C∩P)

Solución:

N (C∩S∩P) =10

4.- Para los siguientes conjuntos:

A = {15, 18, 3,89}; B = {36, 67, 18,89} y C = {3, 89, 27,56}

Represente los tres conjuntos en un diagrama de Ven. Defina en cada diagrama qué elementos conforman los siguientes conjuntos.

A B C

A∩B={3,15,18,89,36,67}

AUB={3,15,18,89,36,67}

A∩C={3,89}

A∩C∩B={89}

AUCUB={3,15,18,27,36,56,67,89}

5.- En un colegio 770 alumnos estudian inglés; 530 alemán y 250 portugués. Además, 400 estudian inglés y alemán; 170 inglés y portugués; 130 alemán y portugués; 100 inglés, alemán portugués; 50 no estudian idiomas. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio? ¿Cuántos estudian solamente dos idiomas?

N (Re) = N (IUAUP) + N (IUAUP)C

N (I) = 770

N (A) =530

N (P) =250

N (I∩A∩P) =100

N (I∩A) = 400

N (I∩P) =170

N (A∩P) =130

N (IUAUP)C =50

N (IUAUP) = N(I) +N(A) +N(P) -N(I∩A) -N(I∩P) -N (A∩P) +N(I∩A∩P)

N (IUAUP) =770+530+250-400-170-130+100

N (IUAUP) =950

Solución:

¿Cuántos alumnos tiene el colegio?

N (Re) = N (IUAUP) + N (IUAUP)C

N (Re) = 950+50

N (Re) = 1000

¿Cuántos estudian solamente dos idiomas?

Según el gráfico, los estudiantes que solo estudian 2 idiomas son 400

6.- Un grupo de jóvenes fue entrevistado sobre sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, moto y auto). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

. Moto solamente: 5

. Moto: 38

. No gustan de auto: 9

. Moto y bicicleta, pero no auto: 3

. Moto y auto pero no bicicleta: 20

. No gustan de bicicleta: 72

. Ninguna de las tres cosas: 1

. No gustan de la moto: 61

¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?

100 personas

¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?

9 personas

¿A cuántos le gustaba el auto solamente?

47 personas

¿A cuántos les gustaba las tres cosas?

10 personas

¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el auto pero no la moto?

61 personas

7.- Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos:

. 126 personas consumían C.

. 124 personas no consumían A.

. 36 personas no consumían A ni B.

. 170 personas consumían por lo menos uno de los tres productos.

. 60 personas consumían A y C.

. 40 personas consumían los tres productos.

. 56 personas no consumían B.

Solución:

Al otorgarle a cada espacio desconocido una letra, e interpretar los datos, se plantea un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas:

N (Re)=200

N (AUBUC)=170

N (AUBUC) c=30

N(C)= 126

N (AcUBc)=36

Por lo tanto w=6

200=120+x+y+z+w+u

170=60+w+x+y+z+u

124=u+x+w+30

56=50+w+z.

126=60+u+w

Donde w, x, y, z ≥0

Al resolver la ecuación 4. Se obtiene que.

56-50=w+z.

6=w+z

Z=6-w.

Z=0

Al resolver la

...