Logica De Conjuntos
Enviado por flaco0401 • 29 de Marzo de 2012 • 2.589 Palabras (11 Páginas) • 743 Visitas
Capítulo II: CONJUNTOS
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Teoría de Conjuntos En la vida diaria utilizamos de modo intuitivo la Teoría de Conjuntos para definir, diferenciar, organizar, y relacionar elementos del entorno que nos circunda. Es así que podemos definir que: Un conjunto es la reunión o agrupación de elementos que poseen por lo general una característica común. Es esta característica la que determina que un elemento pertenezca o no a un conjunto. Citemos algunos ejemplos para definir más claramente dicho concepto:
- Las ciencias matemáticas conforman un conjunto, los elementos que la conforman son cada una de las materias que las componen. Es decir que para el conjunto Ciencias Matemáticas sus elementos son por ejemplo: Lógica matemática, Geometría plana, Geometría Espacial, Trigonometría, Teoría de Conjuntos, etc.
El supermercado es un conjunto donde cada uno de sus elementos se encuentra bien definido en una zona de acuerdo al tipo de producto, ejemplo de ellos son los productos lácteos, los granos, los artículos de limpieza, los licores, etc.
La familia constituye unos de los conjuntos con que interactuamos a diario, los elementos que componen dicho conjunto son sus miembros (padre, madre, hijo, nieto hermano, etc.).
Los números también constituyen un conjunto, siendo cada uno de ellos un elemento del mismo.
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Así mismo pudiéramos citar conjuntos de sillas, mesas, alumnos, bicicletas, etc., donde cada conjunto queda definido por las características de los elementos que lo componen. Notación y Representación:
Para definir un conjunto utilizamos LETRAS MAYÚSCULAS, y se representan gráficamente a través de 3 técnicas: Ejemplo: Represente los siguientes conjuntos a través de las 3 técnicas anteriores:
a. El conjunto de números enteros pares mayores que -6 y menores que 4. Represente el conjunto con la letra P.
b. El conjunto de números naturales múltiplos de 4. Represente el conjunto con la letra X.
Solución:
a. El conjunto de números enteros pares mayores que -3 y menores que 4.
b. El conjunto de números naturales múltiplos de 4.
Diagrama de Venn
-4 -2
0 2
Diagrama Lineal
Entre llaves
P= {-4, -2, 0, 2}
-4 -2 0 2
P
Diagrama de Venn
4 16 …
12 8
Diagrama Lineal
Entre llaves
X= {4, 8, 12, 16,…}
X
4 8 12 …
Diagrama de Venn
.1 .3
.2 … .4 .5
Diagrama Lineal
Entre llaves
P= {…, -2, -1, 0, 1, 2,…}
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
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Definición de conjunto
Analicemos cómo definir un conjunto a través de un ejemplo práctico: 1. Jorge Pérez y su esposa María Andrade tienen 2 hijos. Es decir que los hijos de ambos tienen como apellidos Pérez Andrade (en ese orden). Jorge y María viven en una pequeña ciudad, que llamaremos X, donde solamente ellos y sus 2 hijos tienen como apellidos los antes mencionados. Los nombres que se mencionan a continuación pertenecen a un listado del colegio donde estudian los hijos de Jorge y María: Pedro y Diana
Pedro Pérez Andrade
Jorge Crespo Bermúdez
Laura Pérez Peñaloza
Diana Pérez Andrade
Carlos Moreno
Dado que en la ciudad X solamente Jorge, María y sus 2 hijos poseen los apellidos Pérez y Andrade, podemos afirmar que los nombres de los hijos están contenidos en la lista anterior. Entonces podemos definir el conjunto formado por los hijos de Jorge y María (al cual identificaremos como J) de las siguientes maneras: J = personas de la ciudad X que poseen los apellidos Pérez Andrade (en ese orden) J = Pedro Pérez Andrade y Diana Pérez Andrade.
En el primer caso hemos definido el conjunto (J) a través de la característica específica que deben tener los elementos para pertenecer al mismo. A este tipo de definición le llamamos Definición por comprensión.
En el segundo caso hemos definido el conjunto (J) mencionando uno a uno los elementos que lo conforman. En este caso hemos realizado una Definición por extensión.
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2. Definamos a continuación, por extensión y por comprensión el conjunto de los números naturales N menores que 7.
Por extensión: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} LISTA DE SÍMBOLOS
Aproximadamente igual
y
o
Si…, entonces,…
…sí y solo si…
pertenece
es subconjunto de
no es subconjunto de
tal que
existe
no existe
para todo
(x, y)
par ordenado
A x B
producto cartesiano
unión
intersección
diferencia simétrica
Pongamos en práctica lo antes aprendido: Ejemplo: Defina por comprensión y extensión los siguientes conjuntos:
a. Conjunto de los números primos menores que 20.
b. Conjunto de divisores de 48.
Solución:
a. Por extensión: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}
Esta característica determinante del conjunto también podría expresarse a través de notación simbólica (que es la que usualmente utilizamos en Matemática), quedando de la siguiente forma:
Por comprensión:
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Por comprensión: P = {/ x es primo }
b. Por extensión: D= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24}
Por comprensión: D = { es divisor de 48} D = { } No olvides que:
Relación entre conjuntos
Existe un concepto fundamental en la definición de los conjuntos, el cual enunciaremos antes de comenzar a abordar las relaciones entre los mismos.
El Conjunto referencial o Universal se representa gráficamente con un rectángulo, y se simboliza con la letra U.
Complemento de un conjunto:
Un elemento pertenece a un conjunto si cumple con la característica que define al mismo; entonces su relación de pertenencia con en conjunto se expresa de la siguiente forma
y se lee “”
Conjunto referencial o universal
Es el conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia
Dado un conjunto A, que forma parte de un universo U, el complemento del conjunto A lo constituyen los elementos que pertenecen a U y no pertenecen al conjunto A.
El complemento se denota Ac o A´ y se lee A complemento
3 4 A
7 9
1. 5
2. 6
3.
U
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El conjunto vacío es aquel que no tiene elementos. Se simboliza: Por ejemplo: A través de la notación simbólica podemos representar el complemento de un conjunto como: Según la figura anterior
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