“MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA”

“MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA”

PARA QUE UNA MATRIZ DADA TENGA LA FORMA ESCALONADA REDUCIDA, DEBE CUMPLIR CON LAS SIGUIENTES CONDICIONES:

1.- SI UN RENGLON DE LA MATRIZ NO ESTA FORMADA EXCLUSIVAMENTE DE CEROS, ENTONCES EL PRIMER ELEMENTO DEL PRIMER REGLON Y LA PRIMERA COLUMNA (C11) DEBERA SER UN 1.

2.- SI UN RENGLON ESTA FORMADO EXCLUSIVAMENTE DE CEROS, ENTONCES TODO EL RENGLON SE AGRUPARA EN LA PARTE INFERIOR DE LA MATRIZ.

3.- SI DOS RENGLONES CONSECUTIVOS NO ESTAN FORMADOS EXCLUSIVAMENTE DE CEROS, ENTONCES EL PRIMER NUMERO DIFERENTE DE CERO EN EL SEGUNDO RENGLON APARECERA A LA DERECHA DEL PRIMER NUMERO DIFERENTE DE CERO EN EL PRIMER RENGLON.

4.- EN CADA COLUMNA CUYO PRIMER NUMERO DIFERENTE DE CERO SEA UN 1, ENTONCES DEBERA TENER CERO EN TODAS LAS POSICIONES DE LA COLUMNA CORRESPONDIENTE, EJEMPLO:

A=    Matriz escalonada reducida[pic 1]

B=   Matriz Identidad [pic 2]

PARA LLEVAR UNA MATRIZ DADA A LA FORMA ESCALONADA REDUCIDA SE UTILIZAN CIERTAS OPERACIONES LAS CUALES CONDICIONAN EL PROCEDIMIENTO DE SOLUCION, A ESTAS SE LES LLAMAN “OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE RENGLONES" LAS CUALES SON:

1ª. OPERACIÓN. – SE PUEDE MULTIPLICAR UN RENGLON POR UNA CONSTANTE DIFERENTE DE CERO, YA EA ENTERO O FRACCION.

2ª. OPERACIÓN. - SE PUEDEN INTERCAMBIAR DOS RENGLONES CUALESQUIERA.

3ª. OPERACIÓN. - SE PUEDEN SUMAR DOS RENGLONES CUALESQUUIERA O SUMAR EL MULTIPLO DE UN REGLON A OTRO.

TODAS LAS OPERACIONES MANCIONADAS SE DEBEN DE LLEVAR A CABO SISTEMATICAMENTE, PARA ETO LO QUE SE PRETENDE ES REDUCIR CUALQUIER MATRIZ DADA POR MEDIO DE LAS OPERACIONES ANTERIORES, HASTA QUE EL RESULTADO FINAL TENGA LA FORMA ECALONADA REDUCIDA Y DE PREFERENCIA SEA LA MATRIZ IDENTIDAD, PARA LLEVAR A CABO TODO ESTO SE APLICARA EL SIGUIENTE METODO.

“METODO DE REDUCCION O DE GAUSS-JORDAN”

1. SE LOCALIZA LA PRIMERA COLUMNA QUE NO ESTE FORMADA EXCLUSIVAMENTE DE CEROS Y QUE ESTE MAS A LA IZQUIERDA DETODA LA MATRIZ.
2. SI ES NECESARIO SE PUEDEN INTERCAMBIAR EL RENGLON SUPERIOR CON OTRO RENGLON.
3. SI EL PRIMER ELEMENTO LOCALIZADO EN LA PARTE SUPERIOR DE LA PRIMERA CULUMNA ES DIFERENTE DE 1, ENTONCES TODO EL RENGLON SE MULTIPLICA POR EL INVERSO DE ESE NUMERO, DE TAL MANERA QUE ESE ELEMENTO SE CONVIERTA EN UN 1.
4. SE SUMAN MULTIPLOS APROPIADOS DEL RENGLON QUE TIENE COMO PRIMER ELEMENTO EL 1 (renglón pivote), DE MODO QUE TODOS LOS ELEMENTOS DEBAJO DE ESE 1 SE CONVIERTAN EN 0.
5. SE TOMA AHORA LA SIGUIENTE COLUMNA Y SE LLEVAN A CABO LOS 3 PRIMEROS PASOS PARA EL SEGUNDO RENGLON.
6. SE SUMAN MULTIPLOS APROPIADOS DE ESTE 2º. RENGLON A LOS DEMAS PARA HACER CEROS TODAS LAS POSICIONES RESTANTES ARRIBA Y ABAJO.
7. SE REPITE ESTE PROCEDIMIENTO CON LOS DEMAS RENGLONES Y COLUMNAS HASTA QUE LA MATRIZ RESULTANTE TENGA LA FORMA ESCALONADA REDUCIDA.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SE DEFINE A UNA ECUACION LINEAL COMO AQUELLA EXPRESION ALGEBRAICA CON n VARIABLES LA CUAL PUEDE QUEDAR DE LA SIGUIENTE MANERA:

a1X1 + a1X2 + a1X3 + … a1Xn = b

DONDE LOS TERMINOS QUE NO SON VARIABLES SON NUMEROS REALES. UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SE PUEDE REPRESENTAR MEDIANTE MATRICES Y RESOLVERLAS UTILIZANDO EL METODO REDUCCION O DE GAUSS-JORDAN. DEBIDO A QUE UN SISTEMA ES UN CONJUNTO FORMADO POR TODAS LAS SOLUCIONES DE LA ECUACION LINEAL, SE LE LLAMA “CONJUNTO SOLUCION” Y DEBIDO A QUE EL NUMERO DE ECUACIONES Y DE VARIABLES NO ESTA RESTRINGIDO , LA SOLUCION DEL SISTEMA PUEDE QUEAR DE LA SIGUENTE MANERA:

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