Variable Aletoria Discreta

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros.

Ejemplo:

El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X:

Pi=p para i=1,2,…,k,…

Variable aleatoria continúa

Una variable aleatoria continua(X=xi) es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Ejemplos

La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

Función de Densidad de una variable aleatoria continúa.

Sea la función de distribución F(t) = P (x ≤ t) y supongamos dos números reales a y b, a<b, entonces:

F(a) = P (x ≤ a) y F(b) = P (x ≤ b)

F(b) - F(a) = P (x ≤ b) - P (x ≤ a) = P(a<x≤b)

Se llama densidad media de probabilidad en el intervalo [a, b] a:

En el ejemplo anterior del círculo que gira, la función de densidad es:

Función de densidad de una variable aleatoria continua.

Se llama función de densidad de una variable aleatoria continua X a una función f que cumple las siguientes condiciones:

f es una función positiva y definida en toda la recta real.

El área total bajo su gráfica debe ser 1.

La probabilidad de que X tome un valor comprendido entre "a" y "b" viene dada por el área que queda por debajo de la gráfica de la función y que está comprendida entre las rectas x=a y x=b.

Función de Distribución de una variable discreta

En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad de que la variable aleatoria x tome exactamente un determinado valor xi, sino conocer la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor xi. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada función de distribución

Sea x una variable aleatoria. La probabilidad de que x sea menor o igual que un valor t , se escribe P (x ≤ t) y esta probabilidad será función de t. Si a esta función la designamos por F(t):

F(t) = P (x ≤ t)

Esta función se llama función de distribución.

Si xi es creciente con i y suponemos que t está comprendido entre dos de estos valores valores:

xh-1 < t ≤ xh

la condición: x ≤ t Þ x = x1 ó x = x2 ................x = xhß

P (x ≤ t) = P (x1) + P (x2) + .......... + P (xh)

Luego la función de distribución F(t) es la suma de las probabilidades de todos los sucesos x = xi tales que xi ≤ t

Función de Distribución de una variable continua

Para conocer la probabilidad de que la variable aleatoria x tome valores menores o iguales que un cierto valor xi es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada función de distribución

La probabilidad de que x sea menor o igual que un valor t , se escribe P (x ≤ t) y esta probabilidad será función de t. Si a esta función la designamos por F(t):

F(t) = P (x ≤ t)

Esta función se llama función de distribución.

Ejemplo.

Sea un disco graduado entre dos valores a y b, a<b, que se hace girar en presencia de una pestaña que permanece inmóvil. Veamos la probabilidad de que al parar el disco la pestaña marque un valor entre a y un valor t, y también la función de distribución correspondiente:

Esperanza Matemática de una función de una variable aleatoria

En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria , es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de

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