Algebra Booleana

La herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana.

Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra

convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en

dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc). En este capítulo se

presentan los postulados que definen el álgebra booleana, se presentan en forma de teoremas los

resultados más importantes, se presentan también los tres ejemplos clásicos de álgebras boolenas

(lógica proposicional, álgebra de conjuntos, álgebra de switches) y herramientas básicas como tablas

de verdad y diagramas de Venn.

4.1.- POSTULADOS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA

El Álgebra de Boole, fue presentada originalmente por el inglés George Boole, en el año de 1854 en su

artículo "An Investigation of the Laws of Thoght ... ", sin embargo, las primeras aplicaciones a circuitos de

conmutación fueron desarrolladas por Claude Shannon en su tesis doctoral "Análisis simbólico de los

circuitos de conmutación y relés" hasta 1938. A continuación se presentan los postulados fundamentales

del álgebra de Boole

POSTULADOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

O Postulado 1. Definición. El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto

B, el cual contiene dos o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones

denominadas "suma u operación OR" ( + ) y "producto o multiplicación u operación AND" ( ), las

cuales cumplen con las siguientes propiedades:

Postulado 2. Existencia de Neutros. Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado

O y el neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s:

(a) x + O = x (b) x. 1 = x

Postulado 3. Conmutatividad. Para cada x, y en B:

(a) x+y = y+x (b) x y =y x

Postulado 4. Asociatividad. Para cada x, y, z en B:

(a) x + (y + z) = (x + y) + z (b) x (y z) = (x y)  z

Postulado 5. Distributividad. Para cada x, y, z en B:

(a) x+(y z)=(x+y)   (x+z) (b) x (y+z)=(x y)+(x z)

Postulado 6. Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento único

denotado x (también denotado x’), llamado complemento de x tal que

(a) x+x = 1 (b) x   x = O

Capítulo 4 Álgebra Booleana

30

4.2.- EJEMPLOS DE ÁLGEBRAS DE BOOLE

En un principio algunos de los postulados anteriores pueden parecer extraños, especialmente aquellos

que son diferentes al álgebra con número reales (como el 5a, el 6a y el 6b), y puede ser difícil encontrar

situaciones de interés que cumplan al pie de la letra con cada uno de ellos, sin embargo, existen varios

ejemplos, de los cuales se presentan los siguientes tres clásicos, en los cuales se verifica que se trata de

álgebras de Boole, es decir, que se cumple postulado por postulado.

4.2.1.- ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

1.- Para este ejemplo el conjunto B es el conjunto de todos los conjuntos a tratar. La suma

...