Aplicaciones Derivadas

APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FÍSICA, BIOLOGÍA Y OTRAS CIENCIAS

• Si e=f(t) nos da la posición de un móvil respecto al tiempo, entonces v=f '(t) nos da la velocidad de ese móvil en cada instante.

• Si v=g(t) nos da la velocidad de ese móvil en función del tiempo, entonces a=g'(t) nos da su aceleración.

• En general, si f(t) da la variación de una variable respecto al tiempo, entonces f '(t) da la rapidez con que varía esa variable al transcurrir el tiempo.

EJERCICIOS

1. Consideremos de nuevo el ejemplo del autobús que viene en el libro en la página 302.

Ahora sabemos más y podemos resolver mejor el problema.

Esta era la situación del movimiento del autobús y de los cuatro viajeros en función del tiempo:

Ecuaciones de movimiento del:

Autobús

Viajero (1)

Viajero (2)

Viajero (3)

Viajero (4)

Donde e es el espacio en metros y t el tiempo en segundos.

a) ¿En qué instante llegan a la parada los viajeros 1 y 2? (Hay que mirar en la gráfica y también haciendo cálculos con las ecuaciones dadas)

b) ¿A qué distancia se encuentran de la parada los viajeros 3 y 4, cuando arranca el autobús de la parada? (Hay que mirar en la gráfica y también haciendo cálculos con las ecuaciones dadas)

c) ¿En qué instante y a qué distancia de la parada se encuentran cada uno de los cuatro viajeros con el autobús? (Hay que mirar en la gráfica y también haciendo cálculos con las ecuaciones dadas)

d) Calcula la velocidad tanto del autobús, como de cada viajero, en cada instante calculando la derivada de cada función espacio

e) Deduce qué viajero alcanza el autobús "suavemente" y cuál no.

2. Imaginemos que el número de bacterias de un cultivo varía con el tiempo, expresado en minutos, según la ecuación N=500+50t-t2 para t[0,35]

¿Cuál es la velocidad de crecimiento de la población en el instante t=7 min?

Dibuja la gráfica de la función e interpreta el resultado en la gráfica

3. Un cochecito teledirigido se lanza por una cuesta. La distancia recorrida en metros al cabo de t segundos viene dada por d=0.2t2+0.03t3

a) ¿Qué velocidad lleva al cabo de 2 seg, 5 seg, y 6 seg?

b) Cuando el cochecito alcanza una velocidad de 46.8 km/h, los frenos son insuficientes ¿Cuánto tiempo puede permanecer bajando sin que el conductor se preocupe por sus frenos?

4. Un cohete se desplaza según la función , en la que y es la distancia recorrida en km y t el tiempo en horas.

a. Calcula la función velocidad

b. Calcula la función aceleración (así como la función velocidad se obtiene derivando la función distancia, la función aceleración se obtiene derivando la función velocidad)

c. ¿Cuánto vale la velocidad inicial (t=0)? ¿Y la aceleración inicial?

Solución al problema del autobús

0 El viajero 1 llega a la parada a los 7 seg de haber arrancado el autobús, y el 2 a los 10 seg.

Además de verlo en la gráfica se puede deducir haciendo y=0 en las ecuaciones de movimiento de cada uno.

e=0, t=7 seg

e=0, t=10 seg

b) El viajero 3 se encuentra a 96 metros de la parada cuando arranca el autobús, y el 4 a 95 m.

Además de verlo en la gráfica se puede deducir haciendo t=0 en las ecuaciones de movimiento de cada uno.

t=0, o cualquier valor de t, e=96, distancia = 96 m

, t=0, e=95 m, distancia = 95 m

c) Resolviendo el sistema entre la ecuación del

...