Algebra De Boole

Algebra de Boole.

Algebra de “Boole” también llamada (Retículas Booleanas) en informática y matemáticas, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas, (Y, O, NO, y SI) (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones, unión intersección y complemento.

Historia.

Se denomina si en honor a “George Boole” del 2 de Noviembre de 1815 al 8 de Diciembre de 1864) matemático ingles autodidacta, que fue el primero en definir como parte de un sistema lógico, inicialmente un pequeño folleto “El Análisis Lógico Matemático 1” publicado en 1847, en respuesta a una controversia en un curso entre (Augustus de Morgan y Sir. William Hamilton). El algebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Mas tarde como un libro más importante: The Laws of Thought, publicado en 1854.

En la actualidad, el algebra de “Boole” se aplica en forma generalizada, en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon, fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1984. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:

Al análisis, por que es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.

Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.

Definición.

Una algebra de “Boole” es una tripleta donde son operaciones binarias y también operaciones internas en y además para cualquier se cumplen los siguientes axiomas:

1.- Propiedad conmutativa: Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo, cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.

2.- Propiedad asociativa: Para cualquier elemento del conjunto A, no importa el orden en el que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos siempre dará el mismo resultado se define como la asociación de varios números de forma que su suma de el mismo resultado que sin asociarse.

3.- Propiedad Distributiva: Es la propiedad de los operadores Binarios, que generaliza la propiedad distributiva del algebra elemental.

4.- Propiedad de los Neutros. Existen tales que:

En matemáticas y particularmente en algebra, el elemento neutro o elemento de identidad de un conjunto A dotado de una operación Binaria Interna es un elemento “e” del conjunto tal que para cualquier otro elemento “a” el conjunto se cumple:

a × e = e × a = a.

Es decir un nuevo elemento Neutro tiene un efecto Neutro al ser utilizado en la operación.

5.- Se cumple la propiedad: tal que

0 1 1

1 0 1

0 1 0

1 0 0

Algunos Autores al definir un algebra de Boole, prescinden del axioma o ley asociativa por que consideran que es una propiedad demostrable a partir de los restantes axiomas y propiedades ya demostradas. Por ejemplo, puede demostrarse la propiedad o ley asociativa a partir de los restantes axiomas y de la propiedad o ley e absorción.

Como Reticulo.

Como retículo representa las siguientes propiedades de las leyes principales son estas:

Ley de Idempotencia:

En matemática la Idempotencia es la propiedad, para realizar una acción determinada varias veces y aun así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez. Un elemento que cumple esta propiedad es un elemento Idempotente

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