Epicicloide

Epicicloide

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia directriz. Es un tipo de ruleta cicloidal.

Considerando la figura podemos escribir:

con γ = α + β − π / 2 y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: . De aquí se tiene que

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide:

Casos particulares

Cuando es un número racional, i.e., , siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r1=r2, i.e, k = 1 obtenemos una cardioide.

Cicloide

Una cicloide es una curva generada por un punto perteneciente a una circunferencia generatriz al rodar sobre una línea recta directriz, sin deslizarse.

Ecuación paramétrica

Si la cicloide se genera mediante una circunferencia de radio a que se apoya sobre el eje de abscisas en el origen, su descripción en forma paramétrica viene dada por:

donde t es un parámetro real. Siendo la variable y función de la variable x, esta cicloide tiene un período de 2aπ, y una altura de 2a.

Ecuación cartesiana

Si se despeja la variable t en la ecuación paramétrica, se obtendrá la forma cartesiana:

,

donde el único parámetro de forma es el radio a de la circunferencia generatriz. Esta fórmula es válida para la variable y en el intervalo [0,2a], y proporciona sólo la mitad del primer bucle de la cicloide.

Si se desea emplear el n-ésimo semi-bucle de la cicliode, se puede utilizar la siguiente ecuación:

Ecuación intrínseca

La ecuación en forma intrínseca es:

Donde igualmente ρ representa el radio de la curva es la abscisa curvilínea.

Tipos de cicloide

Dependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz, se denomina:

• cicloide acortada, si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz, (b < a),

• cicloide común, si P pertenece a la circunferencia generatriz, (a = b),

• cicloide alargada, si P está fuera de la circunferencia generatriz, (b > a).

Donde la circunferencia tiene radio a, y la distancia del centro al punto P es b.

Hipocicloide

Hipocicloide (curva de trazo rojo). Parámetros: R = 3, r = 1, k = 3.

Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia directriz, sin deslizamiento. Es un tipo de ruleta cicloidal.

La curva hipocicloide es comparable a la cicloide, donde la circunferencia generatriz rueda sobre una línea directriz (o circunferencia de radio infinito).

Ecuación paramétrica

La ecuación paramétrica de una curva hipocicloide generada por un punto de una circunferencia de radio r2 que rueda dentro de una circunferencia de radio r1, es:

Pero , además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, es decir: . De aquí se tiene que

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] se obtiene la ecuación paramétrica de la hipocicloide:

Casos particulares

Cuando es un número racional, es decir, , siendo p y q números enteros, las hipocicloides son curvas algebraicas.

Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x2/3+y2/3=R2/3)

Si es irracional, la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz.

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