Algebra.

Definición. Sea lineal. El núcleo (o kernel) de T se define como:

La imagen de T se define como:

Ejemplo 1.

Si es la transformación cero, entonces e .

Ejemplo 2.

Si es la transformación identidad, entonces e .

Ejemplo 3.

Si es la proyección anterior dada por entonces el núcleo está dado por:

Mientras que la imagen es:

Vemos en este ejemplo que el núcleo es el complemento directo mientras que la imagen es el subespacio sobre el cual se proyecta. Esto sucede en general como demostramos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.

Si es una proyección sobre subespacio de V, asociada a la descomposición , entonces e .

En efecto, recordemos que siempre que , donde y . Por lo tanto, tenemos que:

Ejemplo 5.

Sea tal que . Es fácil verificar que T es lineal, en este caso tenemos que el núcleo está dado por:

Mientras que la imagen queda como:

donde la última igualdad se prueba fácilmente por doble contención.

En todos estos ejemplos se puede observar que el núcleo y la imagen siempre resultan ser subespacios del dominio y del contradominio, respectivamente. Esto es cierto en general:

TEOREMA. Sea lineal. Entonces es un subespacio de V, mientras que es un subespacio de W.

Demostración.- i)

Probemos las tres condiciones de subespacio vectorial:

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