Aplicación De Las Integrales A La Biología

Introducción.

Las matemáticas son llamadas las ciencias exactas porque cuando están bien hechas no contemplan margen de error, y muchos investigadores se refieren a ellas como el lenguaje de la ciencia, siendo el idioma universal para la física, la química, la informática, etcétera. Por ello su uso está muy conectado a diversas disciplinas científicas.

Una de estas múltiples aplicaciones es la que se desarrolla entre las matemáticas y la investigación biomédica. Las ciencias exactas permiten crear modelos de simulación de procesos biológicos, como por ejemplo de los mecanismos de comunicación entre un grupo de células o de la evolución de un tumor.

La aportación de las matemáticas a la lucha contra el cáncer se hace sobre todo a través de modelos: programas que simulan desde cómo crece un tumor a qué efecto tiene sobre un paciente determinada terapia. Los primeros empezaron a desarrollarse en los setenta y algunos se emplean hoy ya rutinariamente en hospitales, como explica el matemático italiano Luigi Preziosi, del Politécnico de Turín: «Ya hay modelos que predicen bastante bien cómo se comporta el tumor, y permiten predecir dónde están las células tumorales. Esto sirve para indicar, por ejemplo, hasta dónde cortar en el caso de una operación, porque dice si es más o menos probable que haya células tumorales lejos del tumor».

También se usan ya modelos a la hora de optimizar los protocolos, para saber cada cuánto dar el fármaco o cuándo ya no es útil. En Estados Unidos se contrata a matemáticos para hacer esto. «En función de la historia pasada del paciente pueden decir si conviene una determinada terapia cada dos días o cada tres», explica el experto italiano.

Este tipo de modelos de simulación se consiguen mediante el uso de ecuaciones diferenciales, que describen cada una de las variables consideradas en el proceso biológico que se está investigando.

No se trata de que los matemáticos o los ordenadores vayan a suplantar a los oncólogos, sino de orientar los pasos de los médicos, ayudarles a probar primero lo que parece que va mejor. Por ejemplo, si se tiene la historia de un paciente, en principio podría cambiar el protocolo y ver si tal vez hubiera tenido una evolución distinta de haberse hecho las cosas de otra manera. Obviamente una cosa es hacerlo en un ordenador, y otra muy distinta en vivo. No sólo por motivos éticos, sino por cuestiones de tiempo: en un ordenador tardo un día, en una persona, meses.

En conclusión, estos sistemas de simulación matemática pueden evitarle a la ciencia muchos experimentos y ensayos en animales o en cultivos de células en laboratorios, y así optimizar las investigaciones médicas en favor de la obtención de resultados.

Objetivos:

Aprender acerca de la aplicación de las integrales en el estudio de la evolución del cáncer.

Conocer la eficacia de los estudios basados en integrales en el tratamiento de éstos.

Aplicación de las Integrales en la Biología

Las Integrales y el Cáncer

Se denomina cáncer a un conjunto de enfermedades en las cuales el organismo afectado produce un exceso de células malignas, con rasgos típicos de comportamiento y crecimiento descontrolado. Es importante recordar que todos los tipos de cáncer son causados por anormalidades en el material genético celular, siendo dichas anormalidades causadas por múltiples razones, no todas ellas del todo comprendidas.

El cáncer podría acabar convirtiéndose en una enfermedad crónica, de modo similar al sida, con el tratamiento adecuado. Es un cambio de enfoque derivado de entender, de una forma distinta, qué es el tumor: en vez de buscar la causa de la proliferación incontrolada de las células en el fallo de un gen, los biólogos moleculares empiezan a pensar en el cáncer como el resultado de una red de procesos, de un sistema. Y eso, a su vez, da pie a atacar por muchos frentes, tal vez con terapias combinadas y mantenidas.

Diversos modelos matemáticos de crecimiento tumoral se han desarrollado desde el siglo pasado, utilizándose, la mayoría de ellos, para describir de manera cualitativa los estados tempranos (pre vasculares) de crecimiento y estabilidad del tejido tumoral, bajo numerosas hipótesis y simplificaciones

Uno de estos modelos fue planteado por Rashevsky en 1945, fue un modelo logístico para estudiar el crecimiento tumoral. El propuso las siguientes hipotesis:

La multiplicación de cada célula está determinada por un factor g

Cada célula ejerce un efecto inhibidor, caracterizado por un factor j, sobre el resto de las células.

De esta manera si n es la cantidad de células dn/dt = n(ag-bj(n-1)) donde a y b son constantes de proporcionalidad. El modelo logístico ha sido utilizado para ajustar numerosos datos de crecimiento tumoral y en modelos para la optimización de la quimioterapia, obteniéndose en ambos casos buenos logros.

Sin embargo, estudiando las comparaciones con datos experimentales, puede argumentarse que el modelo de Gompertz describe más adecuadamente el crecimiento tumoral que el logístico.

En 1965 Burton presento el primer modelo en el que el crecimiento de un tumor, de simetría esférica, estaba determinado por la difusión molecular, poniendo como límite la disponibilidad de oxígeno. Este modelo brindo expresiones analíticas simples para los radios del tumor y de su núcleo necrótico.

El modelo de Glass provee un tamaño límite para el crecimiento estable de un tejido, sin describir la evolución temporal del mismo previo al estado límite. ´El resolvió la ecuación de difusión unidimensional en términos de parámetros biológicos que describen el sistema. Shymko y Glass, basados en estas ideas, extendieron el modelo anterior a tres dimensiones.

Greenspan desarrollo modelos detallados en los cuales considero los efectos de inhibidores de crecimiento y la distribución espacial de nutrientes, los que se difunden por el tejido. En un principio estos modelos fueron unidimensionales pero más tarde se generalizaron a tres dimensiones, considerándose un tumor de simetrıa esférica.

La ecuación diferencial que gobierna la dinámica del radio externo del tumor (o de su longitud, en una dimensión) es derivada y resuelta sujeta a una apropiada relación entre la concentración del nutriente, del inhibidor y del radio interno (por ejemplo el radio del núcleo necrótico)

Reglas para el crecimiento del cáncer

Las reglas de crecimiento serán formuladas suponiendo la convivencia de N especies diferentes de células

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