Homotesias

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo \scriptstyle \mathbb{K}. Sea X un elemento (visto como un punto) de E. La homotecía de centro C y de razón k, denotada \scriptstyle h_{C, k} envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:

(1a)M'- C = k(M-C)\,

La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afín de la forma:

(1b)M' = kM + (1-k)C \,

La anterior relación puede escribirse vectorialmente en el plano como:

\begin{bmatrix} m'_x \\ m'_y\\ 1 \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} k & 0 & (1-k)c_x \\ 0 & k & (1-k)c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} m_x \\ m_y\\ 1 \end{bmatrix}

Donde: M' = (m'_x, m'_y)\,, M = (m_x, m_y)\, y C = (c_x, c_y)\,.

En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.

Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, una homotecia de centro el punto C y razón el número real k ≠ 0, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P′ tal que (el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el número k). Si k es positivo, P′ está en la semirrecta de origen C que pasa por P.

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La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:

el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura

el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']

La imagen de línea es otra línea paralela a la original.

el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).

Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).

k = - 1 corresponde a una simetría de centro C.

Si k ≠ 0, \scriptstyle h_{C, k} admite como trasformación recíproca \scriptstyle h_{C, 1/k} (cuando k = 0, no es biyectiva).

Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: \scriptstyle h_{C, k} o \scriptstyle h_{C, k'} = \scriptstyle h_{C, k\cdot k'}.

Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. El conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.

Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, se cumple que:

todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.

el cociente de longitudes es conservado: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura

los ángulos orientados son conservados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.

Más aún:

k = - 1 corresponde a la simetría de centro C que es la rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º).

|k| > 1 implica una ampliación de la figura.

|k| < 1 implica una reducción.

k < 0, la homotecia se puede expresar como la composición de una simetría con una homotecia de razón |k|, ambas de igual centro. Que la homotecia original.

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