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Para hallar el volumen de un sólido por el método de las secciones, se procede como se indica a continuación:

1. Esbozar la figura, incluyendo un eje perpendicular a las secciones de área conocida (es decir, un eje OX.

2. Escoger una sección perpendicular al eje OX.

3. Expresar el área A(x) de la base de la sección en términos de su posición x sobre el eje OX.

4. Integrar entre los límites apropiados.

2.4. Volúmenes de revolución: Método de capas

En esta sección estudiamos un método alternativo para el cálculo de un volumen de un sólido de revolución,

un método que emplea capas cilíndricas.

Para introducir el método de capas, consideramos un rectángulo representativo, donde:

• w = anchura del rectángulo (espesor).

• h = altura del rectángulo.

• p = distancia del centro del rectángulo al eje del giro (radio medio).

Cuando este rectángulo gira en torno al eje de revolución, engendra una capa cilíndrica (o tubo) de anchura w. Para calcular el volumen de esta capa consideramos dos cilindros. El radio del mayor corresponde al radio externo de la capa, y el radio del menor al radio interno de la capa. Puesto que p es el radio medio de la capa, sabemos que el radio externo es p + (w/ 2) , y el radio interno es p - (w/ 2) . Por tanto, el volumen de la capa, viene dado por la diferencia:

Volumen de la capa = volumen del cilindro = volumen del agujero=

Usamos esta fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución como sigue. Suponemos que la región plana gira sobre una recta y engendra así dicho sólido. Si colocamos un rectángulo de anchura Dy paralelamente al eje de revolución, entonces al hacer girar la región plana en torno al eje de revolución, el rectángulo genera una capa de volumen:

Si aproximamos el volumen del sólido por n de tales capas de anchura Δy , altura h ( y) , y radio medio p (y ), tenemos:

Tomando el límite cuando n, tenemos que:

Por tanto, podemos enunciar el método de capas de la siguiente forma:

Para calcular el volumen de un sólido de revolución con el método de capas, se usa una de las dos siguientes opciones:

Para hallar el volumen de un sólido por el método de capas, se procede como se indica a continuación:

1. Esbozar la región plana que va a ser girada, hallando los puntos de intersección de las curvas que la limitan.

2. Sobre el dibujo hallar un rectángulo paralelo al eje de revolución.

3. Teniendo como base el boceto, escribir el volumen de la capa.

4. Integrar entre los límites apropiados.

Observación: Los método de discos y de capas se distinguen porque en el de discos el rectángulo representativo es siempre perpendicular al eje de giro, mientras que en el de capas es paralelo.

3. Longitud de un arco

En este apartado vamos a ver como podemos calcular la longitud de arco de una curva plana aplicando integrales. Lo que haremos será aproximar un arco (un trozo de curva) por segmentos rectos cuyas longitudes vienen dadas por la conocida fórmula de la distancia

Veamos ahora como podemos calcular la longitud de un arco.

Sea f una función continua y derivable con continuidad en el intervalo [a,b], y denotemos por ȷ la longitud de su gráfica en este intervalo. Aproximamos la gráfica de f por n segmentos cuyos extremo están determinados por la partición P de [a,b]:

Haciendo, aproximamos la longitud del arco por:

Tomando el límite cuando n

y tenemos:

Llamamos a “l” longitud de arco

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