Calculo3

Integrales

Ejercicio 1: bueno es un ejercicio tedioso: pero hay que resolverlo

1. Calcula con el comando para la integral doble el área de la región del plano limitada por las curvas y .

Gráfico:

En nuestro caso, la función a integrar es f(x, y) = 1. Deseamos calcular entonces:

(esto aplicando simetría) o equivalentemente .

El orden de integración podemos cambiarlo (primero integrar con respecto de x y luego con respecto a y). Observa que, en cada una de las integrales sucesivas, los límites de integración de la integral más interna pueden quedar en términos de la variable externa. Realiza los cálculos a mano y compruébalos con el comando de la calculadora TI VOYAGE que has definido para la integral doble.

Si deseas realizar el cálculo según la primera opción que hemos enunciado, ejecuta la línea de comando siguiente:

2*((dbint(1,x,y,0,9,0,sqrt(9-x))-dbint(1,x,y,0,1,sqrt(9-9*x),sqrt(9-x))).

Para la segunda opción puedes realizar el cálculo mediante la línea de comando siguiente:

.

En ambos casos el resultado será 32. Observación: cuidado con los signos (-) que utilizas porque no es lo mismo usar el signo (-) de la tecla gris que el signo (-) de la tecla negra (consulta el manual de la calculadora para conocer la diferencia).

2. Determinar el centro de masa del sólido homogéneo limitado por las superficies:

Gráfico:

Observamos que se trata del cuerpo acotado inferiormente por el cono y superiormente por la esfera . Por la simetría del problema, sabemos que la abscisa y la ordenada del centro de masa son 0; que la función que nos da la densidad del cuerpo es , con k una constante positiva, ya que el sólido es homogéneo. Puede aprovecharse o no la simetría del sólido para hacer los cálculos (en la figura se ha representado el haber extraído la parte contenida en el primer octante).

Las superficies se intersectan a la altura z = 2, en el cilindro .

Para atacar el problema contamos con varias alternativas:

a) Cálculo mediante coordenadas rectangulares

b) Cálculo mediante coordenadas cilíndricas.

c) Cálculo mediante coordenadas esféricas

a) Cálculo mediante coordenadas rectangulares

Se plantea la siguiente integral triple para el cálculo de la masa del sólido:

Para las coordenadas del centro de masa , se requieren además:

,

, y

Para obtener entonces las coordenadas pedidas mediante:

, y .

b) Cálculo mediante coordenadas cilíndricas.

Haciendo el cambio a coordenadas cilíndricas tenemos lo siguiente:

.

También se plantean entonces:

,

, y

c) Cálculo mediante coordenadas esféricas

Ahora mediante el cambio a coordenadas esféricas:

También se plantean entonces:

,

, y

Resultados:

, , . Las coordenadas del centroide son entonces:

Conclusión.

Las herramientas generadas con los

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