Claculo

Parte 1:

Realiza correctamente lo que se te indica:

Utiliza sustitución trigonométrica para resolver la integral

Dibuja el triángulo que vas a utilizar:

Encuentra las sustituciones:

x = __2 cos Ɵ_____________

dx =_-2 sen Ɵ dƟ_____________

√(〖(2〗^2- X^2 )= √(2^2-〖(2 cos⁡〖θ)〗〗^2 )

Utiliza las sustituciones para cambiar la integral a una integral con funciones trigonométricas:

¿Cómo queda expresada la integral? ∫▒(〖(2 cos⁡〖θ)〗〗^3 (-2 sen θ) dθ)/√(2^2-〖(2 cos⁡〖θ)〗〗^2 )+c

Resuélvela con sustitución trigonométrica

Dibuja el triángulo que vas a utilizar:

Encuentra las sustituciones:

x= __5 sec Ɵ

dx=_5 sec Ɵ tan Ɵ dƟ

√(x^2-5^2 )= √(〖(5 sec⁡〖θ)〗〗^2-25)

Utiliza las sustituciones para cambiar la integral a una integral con funciones trigonométricas:

¿Cómo queda expresada la integral? __5 (Tan Ɵ – Ɵ) + C

Resuélvela con las fórmulas anteriores:

F( x ) =

Tan θ= √(x^2-25)/5 entonces,θ=〖Tan〗^(-1) √(x^2-5^2 )/5 luego,θ=arcTan √(x^2-25)/5

Sustituyendo:

F(x)=5 (√(x^2-25)/5-arcTang √(x^2-25)/5)+C

Utiliza el método de fracciones parciales para resolver las siguientes integrales

Factoriza el denominador para identificar qué tipo de factores son:

x^3+ 〖2x〗^2+x=x(x^2+2x+1)=x (x+1)(x+1)

Escribe la función como la suma de fracciones parciales.

∫▒〖A/x+B/((x+1))+C/〖(x+1)〗^2 〗

Encuentra el valor de las constantes A, B, C, D, etc. y resuelve la integral.

A〖(x+1)〗^2+B(x)(x+1)+Cx

6∫▒〖dx/x+∫▒〖(-1dx)/(x+1)+9∫▒dx/〖(x+1)〗^2 〗〗

9∫▒〖dx/〖(x+1)〗^2 =9∫▒〖〖(x+1)〗^(-2) dx=〗 9〖(x+1)〗^(-1)= 9/(x+1)〗

6lnx-ln|x+1|+9/(x+1)+C

Nota: si el grado de los polinomios P y Q son iguales o se cumple que grado P > grado Q, entonces de debe efectuar la división de polinomio y después utilizar fracciones parciales.

Efectúa la división de polinomio:

x^2-2x-8 〖2x〗^3-〖4x〗^2-15x+5

Factoriza el denominador para identificar qué tipo de factores son:

∫▒〖2xdx+∫▒〖(x+5)/(x^2-2x-8)= ∫▒(x+5)/((x-4)(x+2))〗〗

Escribe la función como la suma de fracciones parciales

x+5=(A/((x-4) )+B/(x+2))

Encuentra el valor de las constantes A, B, C, D, etc. y resuelve la integral.

X^2+∫▒〖(13⁄2 dx)/(x-4)+∫▒((-11)⁄2dx)/(x+2)〗

x^2+13⁄2 ln|x-4|-11⁄2 ln|x+2|+C

Parte 2:

Suponiendo que la población mundial sigue un modelo logístico, busca información de la ecuación diferencial que representa la razón de cambio de esta población y responde

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