Demsotracion

Las relaciones que se verifican entre los teoremas asociados son las siguientes:

- El teorema directo o contrarrecíproco son ambos ciertos o ambos falsos.

- El teorema contrario y recíproco son ambos ciertos o ambos falsos.

Condiciones necesarias y suficientes.

El teorema directo afirma que si se verifica H, entonces se verificará T. En lenguaje matemático se dice

entonces que H es suficiente para que se cumpla T. Simbólicamente se expresa: H ⇒ T; H es condición

suficiente para que se cumpla T.

En este mismo teorema también se dice que T es condición necesaria para que se cumpla H.

Simbólicamente: H ⇒ T; T es condición necesaria para que se cumpla T.

Demostraciones matemáticas.

Una demostración es un razonamiento o deducción lógica que partiendo de unas hipótesis nos permite

llegar a unas tesis o conclusiones. En matemáticas se han desarrollado muchos métodos de demostración,

veamos algunos de los más comunes.

Demostración directa. Consiste en demostrar H ⇒ T, asumimos que H es cierta y mediante una serie de

pasos y operaciones que sabemos correctos llegamos a la conclusión, con lo que el teorema estaría

demostrado.

Ejemplo. Si n es múltiplo de 4 (H), entonces n es par (T). H ⇒ T.

Demostración: Suponemos que H es verdadero, y podemos escribir que n = 4k; pero si tomamos

t = 2k, podemos escribir n = 2.2k = 2t y llegamos q que n es par.

Demostración por casos. En ocasiones no podemos hacer la demostración para todos los casos a la vez y

debemos demostrar todos los casos que se presentan.

2

Ejemplo: Si n ≠ 0, entonces n > 0.

Demostración. Lo haremos para n > 0 y para n < 0 por separado:

2

Si n > 0, multiplicamos los dos miembros por n con lo que nos queda n > 0.

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Si n < 0, multiplicamos los dos miembros por n que al ser negativo invierte la igualdad, y tenemos n > 0.

Demostración por contraejemplo. A veces podemos encontrar un ejemplo, que se llama contraejemplo,

para demostrar que la hipótesis es falsa.

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