Determinación de la constante elástica y coeficiente de amortiguamiento a través de un Movimiento Armónico Simple

Determinación de la constante elástica y coeficiente de amortiguamiento a través de un Movimiento Armónico Simple

Autores: Camila Smith, Agustin Rey y Catalina Gomez Scasso

Resumen

En el presente trabajo se realizó el cálculo de la constante elástica (k) de un resorte en movimiento armónico simple, como el que  se muestra en la figura 1. Para realizar esto se utilizó una simulación1 y utilizando diferentes masas. Se obtuvo un valor de . Luego mediante el mismo simulador, pero esta vez utilizando un movimiento oscilatorio amortiguado, se calculó el coeficiente de amortiguación () para dos casos diferentes. Para calcular  se realizó una grabación de pantalla del movimiento oscilatorio en 30 FPS y luego se utilizó el programa Tracker2 para que el mismo tome los datos de la posición de la masa oscilante en el tiempo y finalmente se realizó el estudio de los datos tomados en Origin para luego llevar a cabo todos los cálculos necesarios (, error de la posición, error del tiempo, etc)[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

Introducción

[pic 5]

Figura 1. Movimiento Armónico Simple, donde m es la masa que oscila en el extremo del resorte.

La masa, la cual está enganchada en un extremo del resorte, tiene un movimiento oscilatorio cuando se mueve periódicamente alrededor de una posición de equilibrio. Siempre que la masa se desplaza desde una posición de equilibrio estable, el movimiento de la partícula es armónico simple. Un resorte realiza este tipo de movimiento. En estos puntos de equilibrio, la fuerza neta que actúa sobre el objeto que oscila es nula. Como este movimiento es unidimensional, su posición x está dada en función del tiempo T por la siguiente ecuación:

[pic 6]                                (1)

Donde A es la amplitud (máximo desplazamiento),  es la pulsación o frecuencia angular, T  es el tiempo que tarda en hacer una oscilación completa,  es la fase y x representa la elongación o desplazamiento respecto del punto de equilibrio.[pic 7][pic 8]

[pic 9]

Figura (1). Representación gráfica de x (desplazamiento) en función de t (tiempo) de un movimiento oscilatorio armónico simple.

El valor de la frecuencia angular está relacionado con la constante restauradora o constante elástica por la siguiente ecuación:

[pic 10]                                                (2)

Donde k es la constante elástica o restauradora y m es la masa que interactúa con el resorte.

Dado que una revolución completa representa 2π radianes, también podemos decir que:

[pic 11]                                                (3)

Donde T representa el periodo (tiempo que tarda el objeto en realizar una oscilación completa)

Si se desplaza el objeto con respecto a la posición de equilibrio dará lugar a la aparición de una fuerza restauradora que devolverá la partícula hacia el punto de equilibrio, denominada, para este caso, fuerza elástica. La fuerza requerida para estirar un objeto elástico, como un resorte, es directamente proporcional a la extensión del resorte. A esto se lo denomina Ley de Hooke, y está dada por la ecuación:

[pic 12]                                         (4)

Ley de Hooke

Donde k es la constante elástica, propia de cada resorte, y  refiere a la variación que sufre su longitud natural (compresión o estiramiento).[pic 13]

La fuerza elástica tendrá sentido contrario al estiramiento del resorte.

Existe también un movimiento oscilatorio que posee un amortiguamiento (movimiento oscilatorio amortiguado). En este caso, existe una fuerza que se opone constantemente a la dirección, haciendo que a lo largo del tiempo la amplitud del movimiento sea cada vez menor.

Este movimiento está descrito por la ecuación de movimiento:

[pic 14]

                                                                                                          (5)

Donde es la amplitud inicial,  es el amortiguamiento, ⍵ es la frecuencia angular, Φ es la fase y  es la posición de equilibrio.[pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

Figura (2). Representación gráfica de x (desplazamiento) en función de t (tiempo) de un movimiento oscilatorio armónico simple amortiguado.

Procedimiento experimental

Parte 1:

En esta primera parte, se procedió a utilizar una simulación para estudiar el comportamiento de un resorte. Se tomaron veinte (20) mediciones del tiempo, de manera manual, que tardaba el resorte en realizar una oscilación, para tres masas (m) diferentes (0,1 kg, 0,2 kg, 0,3 kg) sin amortiguamiento, con una constante elástica (k) que es incógnita. Las masas fueron soltadas desde la longitud natural del resorte (= 49 cm). [pic 19]

[pic 20]Figura (3). Simulación que fue utilizada para la realización de este experimento. La línea punteada en azul representa la longitud natural del resorte (sin estiramiento o compresión, desde donde fue soltada la masa). La línea punteada en negro representa la longitud de equilibrio (dónde la fuerza elástica es nula).

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