Donde son despreciados los términos de orden cuadrado en los diferenciales. De aquí, la segunda Ley de Newton del movimiento tendrá la expresión

Sistemas de masa variable.

El conjunto de materia cuya masa varía con el tiempo se le conoce como sistema de masa variable, donde la Segunda ley de Newton no es aplicable directamente, dado que únicamente es válida para sistemas característicos de una masa constante. Entonces al estudiar estos sistemas, es requerido tomar en cuenta la 2ª ley de Newton,   y referida a un sistema de ejes fijo en el espacio, suponiendo que entre el instante  y el instante , el sistema gana una masa de , y expulsa una masa  con una velocidad   respecto del sistema, en sentido contrario de la velocidad  del sistema.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

El momento lineal del sistema, en el instante , es [pic 8][pic 9]

Y en el instante [pic 10]

[pic 11]

Restando, el incremento de momento lineal durante el intervalo de tiempo  es[pic 12]

[pic 13]

Donde son despreciados los términos de orden cuadrado en los diferenciales. De aquí, la segunda Ley de Newton del movimiento tendrá la expresión

[pic 14]

Problema.

Calcular la velocidad y aceleración de ascensión vertical de un cohete que expulsa gases a ritmo constante, con una velocidad U respecto al cohete.

[pic 15]

[pic 16]

Siendo  la razón de expulsión de los gases quemados, medida en kg/seg.[pic 17]

La ecuación de movimiento adecuada es

[pic 18]

Ya que el movimiento del cohete es de ascensión vertical, la fuerza exterior corresponde a la fueza de la gravedad, dirigida  hacia abajo. Obtenemos

[pic 19]

El estado dinámico del cohete queda caracterizado completamente por el valor de su masa en cada instante, y la dependencia temporal de las variables de movimiento del chete, () tiene la forma funcional[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Como consecuencia, al resolver el problema es aconsejable, mediante la regla de la cadena, sustituir en la ecuación del movimiento las derivadas temporales por derivadas respecto de , eliminando así la variable temporal. Obtenemos[pic 23]

[pic 24]

Con lo cual la ecuación de movimiento es

[pic 25]

ó

[pic 26]

Ahora podemos integrar directamente, con el resultado

[pic 27]

La condición inicial establece que el cohete parte del reposo, con masa inicial . Es decir,  cuando . Aplicando esta condición inicial, obtenemos el valor de la constante[pic 28][pic 29][pic 30]

[pic 31]

Y la velocidad de ascensión en función de la masa del cohete

[pic 32]

Introduciendo , obtenemos dicha velocidad de ascensión vertical en función del tiempo[pic 33]

[pic 34]

Finalmente, derivando respecto del tiempo, obtenemos la aceleración de subida en función del tiempo

[pic 35]

Ya que el cohete parte del reposo en el instante inicial, para que ascienda inicialmente es necesario lo siguiente

[pic 36]

[pic 37]

Relación que se debe satisfacer entre la masa inicial del cohete, la razón y velocidad de expulsión de los gases para que sea posible la ascensión vertical del cohete.

...