Ejercicioc

Encuentre el volumen de la región acotada por los paraboloides z= 5-x2-y2 ^ z=4x2+4y2. Además plantear la integral iterada para calcular el momento de inercia con respecto al eje z.

z= 5-x2-y2 z=4x2+4y2

5-x2-y2 = 4x2+4y2

5 = 4x2+4y2+ x2+y2

5 = 5x2+5y2

1 = x2+y2

r2= x2+y2

r=1

0≤θ≤2π

Volumen

∫_0^2π▒∫_0^1▒∫_(4r^2)^(5-r^2)▒〖r dz dr dθ〗

rz=r(5-r^2-4r^2 )=5r-5r^3

∫_0^2π▒∫_0^1▒〖5r-〖5r〗^3 dr dθ〗

5/2 r^2-5/4 r^4=5/2 (1)^2-5/4 (1)^2-0

∫_0^2π▒〖5/4 dθ〗

5/4 θ=5/4(2π)

=5/2 π

z= 5-x2-y2 z=4x2+4y2

z-5=-x2-y2 z=4(x2+y2)

-z+5= x2+y2 z=4r2

-z+5=r2

z = 5- r2

Momento de inercia respecto a z

∫_0^2π▒∫_0^1▒∫_(4r^2)^(5-r^2)▒〖(x^2+y^2 ) r dz dr dθ〗

∫_0^2π▒∫_0^1▒∫_(4r^2)^(5-r^2)▒〖(r^2 ) r dz dr dθ〗

∫_0^2π▒∫_0^1▒∫_(4r^2)^(5-r^2)▒〖r^3 dz dr dθ〗

∫_0^2π▒∫_0^1▒∫_(4r^2)^(5-r^2)▒〖r^3 dz dr dθ〗

r^3 z=r^3 (5-r^2-4r^2 )=5r^3-5r^5

∫_0^2π▒∫_0^1▒〖5r^3-5r^5 dr dθ〗

5/4 r^4-5/6 r^6=5/4 (1)^4-5/6 (1)^6-0

∫_0^2π▒〖5/12 dθ〗

5/12 θ=5/12(2π)

= 5/6 π

...