Funsiones periodicas
Enviado por Roberto Gamboa • 24 de Agosto de 2017 • Documentos de Investigación • 658 Palabras (3 Páginas) • 142 Visitas
Funciones periódica
Para iniciar el estudio de las series de Fourier es necesario conocer los conceptos de función periódica, par e impar. Recordemos de la definición 1 de la sección 3.6 que una función f (t) se dice periódica de periodo T si f(t)= f(t+T) para todo t en su dominio.
Por introducción es fácil observar que si f(t) e una función periódica de periodo T, entonces f(t+T) =f(t) para todo valor de t en su dominio y n numero entero.
En el siguiente ejemplo muestra dos funciones periódicas de interés en nuestro estudio sobre las series de Fourier.
Ejemplo 1 las funciones periódicas sen t y cos t son periódicas con periodo 2L.[pic 1][pic 2]
Solución
Se verifica que
sen= sen desarrollamos [pic 3][pic 4]
sen= sen cos 2nπ+sen2nπcos seno de suma[pic 5][pic 6][pic 7]
sen= sen cos(2nπ) =1, sen(2nπ)=0[pic 8][pic 9]
Concluímos que la función sen t es periódica de periodo 2L.[pic 10]
Un procedimiento análogo muestra que la función cos t también es periódica y de periodo 2L. [pic 11]
Funciones pares e impares
Para justificar el teorema de Fourier nos será de mucha utilidad recordar los conceptos funciones par e impar, ya que sus propiedades no facilitaran el cálculo de integrales definidas en un periodo centrado alrededor de cero. Presentamos la siguiente definición.
Funciones par e impar
- Una función f(t) se dice par si f(-t) =f(t)
- Una función f(t) se dice impar si f(-t) = -f(t)
Ejemplo 3 serie de Fournier en cosenos y en senos para la fyuncion
F(t)={[pic 12]
Solución
La grafica de la funcion f(t) se muestra en la figura 5.18
Primeramente, identificamos que L= 2 y calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en cosenos
[pic 13][pic 14]
a0 =[pic 15]
La serie de Fourier en cosenos es
cos[pic 16][pic 17]
De la misma forma, calcularemos los coeficientes de la serie de Fourier en senos
[pic 18]
La serie de Fourier en senos
[pic 19]
En la figura 5.19 se muestran la graficas de las series de Fourier en senos y cosenos para diferentes de n. se puede observar, a partir de las gráficas, con la convergencia de cada serie a la función f(t) en el intervalo [0, ]. En todos los casos, la gráfica de la izquierda corresponde a la serie en cosenos y la gráfica de la derecha a la serie en senos.[pic 20]
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