MANUAL DE PRÁCTICAS DE ALGEBRA LINEAL

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA LAGUNA

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MANUAL DE PRÁCTICAS DE ALGEBRA LINEAL

UNIDAD II

UNIDAD III.  SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

TEMARIO

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.

3.3 Interpretación geométrica de las soluciones.

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales, Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer.

3.5 Aplicaciones.

Definición.

Una ecuación lineal con las variables  x1…xn   es una ecuación que puede escribirse en la forma

a1x1+ a2x2…. anxn = b

Donde b y los coeficientes a1…. an  son números reales ó complejos.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones

1. Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
2. Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:

1. Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
2. Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones

Métodos de solución para sistemas de Ecuaciones

1. Sustitución
2. Igualación
3. Reducción (suma y resta)
4. Regla de Cramer (determinante)
5. Método Gráfico
6. Método de Guss Jordan

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. Este método consiste en despejar una de las dos variables de cualquiera de las dos ecuaciones  y sustituir dicho despeje en la ecuación restante, así resulta una ecuación de primer grado, la cual se resuelve para obtener el valor de la variable, este primer valor se sustituye en el despeje para determinar el valor de la variable que falta.

Ejemplo paso a paso.

a) Se tiene un sistema de ecuaciones de 2 incógnitas

   Ecuación 1[pic 2]

   Ecuación 2[pic 3]

b) Despejamos x en  la ecuación 1 =   [pic 4]

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c) Ahora sustituimos el nuevo valor para x, que es -3y+18 en la ecuación 2, y obtenemos el valor de y
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d) Por último sustituimos el valor de y = 5 en la ecuación 1 despejada

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e) Obtenemos entonces los valores que dan solución al sistema de ecuaciones

x=3         y= 5  

MÉTODO DE IGUALACIÓN. En este método se elige una variable, la cual se despeja en ambas ecuaciones, los despejes se igualan y se resuelve la ecuación de primer grado que resulta. Por último, el valor que se obtiene  se sustituye en cualquiera de los despejes para hallar el otro valor.

Ejemplo paso a paso.

a) Se tiene un sistema de ecuaciones de 2 incógnitas

  Ecuación 1[pic 18]

   Ecuación 2[pic 19]

b) Despejamos x en  la ecuación 1 =   [pic 20]

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Y  x   en la ecuación 2

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c) Se igualan los despejes y se resuelve la ecuación de primer grado

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d) El valor de y se sustituye en cualquiera de los despejes

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e) Obtenemos entonces los valores que dan solución al sistema de ecuaciones

x=3         y= 5  

MÉTODO DE REDUCCIÓN (SUMA Y RESTA). Este método consiste en multiplicar las ecuaciones dadas por algún número, de tal forma que al sumar las ecuaciones equivalentes que resultan, una de las variables se elimina para obtener la ecuación con una incógnita, y al resolverla se determina su valor, para posteriormente sustituirla en alguna de las ecuaciones originales y así obtener el valor de la otra incógnita.

a) Se tiene un sistema de ecuaciones de 2 incógnitas

   Ecuación 1[pic 36]

   Ecuación 2[pic 37]

b) Se elige una variable a eliminar, en este caso será x de la ecuación 2, para lo cual necesitamos multiplicar la ecuación 1 por (-2) y obtener:

 )[pic 38]

  [pic 39]

c) Se resta la ecuación resultante a la ecuación 2 original, y se obtiene el valor de la variable

  [pic 40]

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  [pic 42]

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d) El valor de la variable (y) se sustituye en cualquiera de las ecuaciones para obtener el valor de la otra variable (x)

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e) Obtenemos entonces los valores que dan solución al sistema de ecuaciones

x=3         y= 5  

MÉTODO CRAMER (Regla de Cramer ó Determinante). Este método consiste en aplicar los pasos para obtener las determinantes de la matriz del sistema y las determinantes de de cada incógnita.

a) Se tiene un sistema de ecuaciones de 2 incógnitas

   Ecuación 1[pic 50]

 a      b             c

   Ecuación 2[pic 51]

a1     b1       c1

b) Se obtiene las matrices determinantes de las ecuaciones lineales como la siguiente regla para

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