Planeación unadm. Álgebra lineal
Enviado por Oliver Rubio Nava • 31 de Enero de 2019 • Apuntes • 3.767 Palabras (16 Páginas) • 358 Visitas
Presentación
El álgebra lineal tiene un enfoque amplio, ya que se encarga del estudio de conceptos tales como vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. De manera más formal, el álgebra lineal estudia los espacios vectoriales y las transformaciones lineales.
En esta unidad revisarás temas de historia del álgebra lineal, vectores, operaciones con vectores, productos vectoriales y triples productos. También encontrarás ejemplos, ejercicios y planteamientos de problemas; conforme vayas conociendo la teoría podrás darte cuenta si esa información es útil para resolver los problemas.
Se considera que es muy importante conocer un poco el origen del álgebra lineal, ya que, desde la antigüedad hasta nuestros días, el ser humano ha utilizado las matemáticas para beneficiarse. Una de las primeras necesidades que tuvo el hombre fue la de contar; muestra de ello, lo puedes encontrar en las diferentes culturas: maya, china, inca, entre otras.
Las operaciones con vectores, tales como la suma, resta y multiplicación, te permitirán resolver situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, las ganancias que obtiene un comerciante se pueden determinar por medio del producto escalar. Los productos vectoriales tienen diversas aplicaciones, sobre todo en las ramas de la física; el triple producto te permitirá hallar el volumen de un paralelepípedo sin necesidad de aplicar la fórmula geométrica; esto lo puedes hacer representando la figura en el plano y conociendo los valores de cada uno de los componentes del vector.
En la actualidad, muchos problemas se plantean en términos de una ecuación o de un sistema de ecuaciones, los cuales contienen las restricciones de cada uno de los problemas. La interpretación de los resultados te permitirá elegir la mejor opción y de esta manera podrás ofrecer alternativas a la sociedad para que se vean beneficiados con las aplicaciones del álgebra lineal. Universidad Abierta y a Distancia de México | DCSBA 5
Álgebra lineal Álgebra lineal U1
Competencia específica Unidad 1 | Utiliza vectores para resolver problemas de distintas áreas mediante el álgebra vectorial. |
rimer cuadrante del plano cartesiano; de igual manera, pueden presentarse en cuadrantes distintos, ambos negativos o con signos distintos; esto no afecta el significado que tiene la suma de dos vectores desde el punto de vista geométrico.
En la figura de la izquierda, se observa el vector , y en la de la derecha, se puede apreciar que dicho vector representa a la diagonal de un paralelogramo que tiene por lados |u| y |v|. Universidad Abierta y a Distancia de México | DCSBA 22
Álgebra lineal Álgebra lineal U1
v
u
Esta es la representación geométrica de la suma de dos vectores y se utiliza para resolver problemas tales como encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores 𝑢 y 𝑣 o, para encontrar el área del triángulo con lados u y v. Esto último también es posible con tres vectores que no sean colineales, es decir, que no se encuentren en una misma línea recta.
1.3.4. Resta de vectores
La resta de vectores es muy similar a la suma; para poder obtener la resta de dos vectores, se restan las coordenadas que se encuentran en la misma posición de cada uno de los vectores; para ser más explícitos, observa la siguiente representación.
Sean 𝑢 = (𝑎1,2) y 𝑣 = (𝑏1,𝑏2) dos vectores en el plano, encontrar la diferencia de los vectores v – u = (𝑏1−𝑎1,𝑏2−𝑎2).
Se representan en el plano cartesiano, tal y como se muestra a continuación. Universidad Abierta y a Distancia de México | DCSBA 23
Álgebra lineal Álgebra lineal U1
En la izquierda se encuentra la representación de los vectores 𝑢 y 𝑣, en la derecha se muestra el vector resultante de la diferencia 𝑣 – 𝑢.
Para entender de donde surge la diferencia, se realizarán los siguientes cálculos.
𝑣 = 𝑣 𝑣 = 𝑣 + (−𝑢 + 𝑢) 𝑣 = (𝑣 – 𝑢)+ 𝑢
Esto significa que el vector 𝑣 es el vector resultante de la suma de los vectores v – u y u; dado que u y v ya están trazados, únicamente se unen mediante otro vector; debido a que el punto final del vector resultante coincide con el punto final de la suma de los vectores, entonces, v – u tiene su punto final en la punta de v y su punto inicial en la punta de u. Universidad Abierta y a Distancia de México | DCSBA 24
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1.4. Productos vectoriales
Los productos vectoriales tienen diversas aplicaciones, sobre todo en las ramas de la física; de igual manera, los encontrarás en diferentes situaciones de tu vida.
Por ejemplo, al realizar una competencia de salto de longitud, aparentemente ésta consiste en correr, saltar y caer, pero en esta actividad, también intervienen los vectores. Si todos los atletas tuvieran las mismas capacidades físicas, los vectores definirían quién sería el ganador, debido a un producto de dos vectores: uno que estaría representado por la velocidad con la que corre un atleta y el otro, representado por la velocidad con la cual salta; este producto permitiría encontrar el ángulo entre los vectores ya mencionados y a partir de él, se podría encontrar en qué dirección deben saltar para llegar más lejos.
1.4.1. Producto escalar
Sean 𝑢 = (𝑎1,1) y 𝑣=(𝑎2,𝑏2), entonces se define el producto escalar o producto punto de dos vectores 𝑢∙𝑣 como sigue:
𝑢∙𝑣 = 𝑎1𝑎2 + 𝑏1𝑏2
Esto significa que el producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar; de ahí que lleve el nombre de producto escalar.
A continuación, se realiza la representación geométrica del producto escalar de dos vectores.
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces el ángulo 𝜃entre u y v está definido como el ángulo más pequeño entre las representaciones de u y v que tienen el origen como punto inicial. Si 𝑢 = 𝛼𝑣 para algún escalar 𝛼, entonces 𝜃 = 0, 𝑠𝑖 𝛼>0
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