Álgebra Lineal – Competencia Razonamiento Cuantitativo
Enviado por Antonio Salinas Roca • 27 de Junio de 2020 • Trabajos • 1.834 Palabras (8 Páginas) • 154 Visitas
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas UPC[pic 2]
Curso: Álgebra Lineal – Competencia Razonamiento Cuantitativo
Funciones. Definición y tipos
Sección: CC41
Alumnos:
Razo Ballón, Hernán Aaron
Salinas Roca, Antonio
Docente: Venegas Palacios, Edgard Kenny
Ciclo: 2020-1
Monterrico, mayo 2020
- Introducción
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos de forma que a cada elemento del conjunto inicial (variable independiente) le corresponda un único elemento del conjunto final (variable dependiente). Una función matemática se puede ilustrar de la siguiente manera (Gráfico 1.1):[pic 3]
El concepto matemático de una función está permanentemente presente en el universo, a pesar de que su presencia no sea necesariamente notable. Podemos hacer referencia al uso de funciones en campos desde la física, en especial en la mecánica clásica, a otros de tecnología moderna; como los videojuegos de realidad virtual.
En este informe intentaremos dar un entendimiento de estas al lector y la capacidad de trabajar con ellas, dando como ejemplo el uso de funciones en el ambiente de la programación.
- Fundamento teórico:
- Dominio y Rango
El dominio de una función f (x) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma. Tomando en consideración el gráfico 1.1, el dominio sería x y el rango y.
- Variable dependiente e Independiente
En cálculo, álgebra y geometría analítica, suele hacerse la distinción entre variables independientes y variables dependientes. Por ejemplo, una función y = f(x), el símbolo "x" representa a la variable independiente, y el símbolo "y" representa a la variable dependiente. Se define variable independiente a la variable que toma cierto valor (Argumento) y a partir de este valor, se le asigna un valor a la variable dependiente, por eso el nombre dependiente.
- Ejemplos resueltos
Dado los siguientes conjuntos de relaciones, indicar si se trata de una función o no.
- F = {(1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5), (5; 6)}
Es función
- G = {(1; 1), (1; 2), (1;3), (1;4), (1; 5)}
No es función porque al valor ‘x’ le corresponden distintos valores ‘y’
- H = {(-1; 3), (1, 3), (3; 1); (4; 3)}
Es función
- I = {(-5; 4), (3; 8), (5; 1), (-5; 9), (7; 8)}
No es función, porque a -5 le corresponden dos distintos valores en el rango
- Tipos de funciones
Las funciones pueden cumplir ciertas características especiales, de modo que dan origen a diversos tipos de estas las cuales se clasifican de la siguiente manera según Epp (2010):
- Definida en todas partes
Una función definida en todas partes o bien definida es aquella donde cada elemento de su dominio este asociado al rango de la misma función, es decir que siempre debe existir
[pic 4]
- Inyectiva
También llamada función uno a uno. A cada elemento del dominio les corresponde un rango distinto, es decir que cada elemento del rango es la imagen, como máximo, de un solo dominio.
[pic 5]
Figura 2: ejemplo función inyectiva Figura 3: no es función inyectiva
La figura 2 es una función inyectiva porque los elementos ‘a’, ‘b’ y ‘c’ tienen un rango distinto, mientras que la figura 3 no es inyectiva pues muestra que los elementos ‘c’ y ‘d’ tienen el mismo rango.
La definición matemática de una función inyectiva es la siguiente:
[pic 6]
Adicionalmente, Ostebee y Zorn (2002) indican que, desde el análisis geométrico en plano cartesiano, una función no puede ser atravesada más de una vez por una línea horizontal para que sea inyectiva.
[pic 7]
Figura 4: función inyectiva Figura 5: no es función inyectiva
La figura 4 corresponde a una función inyectiva porque al dibujar una línea horizontal en cualquier parte del gráfico, solo cortara a la función en un único punto, mientras que en la figura 5 demuestra un caso donde la línea horizontal puede cortar a la función en 3 puntos, lo que lo descarta como posible función inyectiva.
- Sobreyectiva
También llamada suprayectiva. Para cada elemento del rango es posible encontrar un elemento del dominio que le corresponda a dicho elemento del rango de la función.
[pic 8]
Figura 5: no es función sobreyectiva
La figura 6 no es sobreyectiva porque el elemento del rango de la función ‘8’ no es resultado de ningún elemento del dominio, la figura 3, a pesar de no ser inyectiva, resulta satisfacer la propiedad de una función sobreyectiva.
La definición matemática de la función sobreyectiva es la siguiente:
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
Figura 6: función sobreyectiva Figura 7: no es sobreyectiva
La figura 6 representa un ejemplo geométrico de una función sobreyectiva, pues su función involucra todos los números reales, al contrario del caso de la figura 7 pues los números negativos del eje y no cumplen [pic 12]
- Biyectiva
También llamada correspondencia inyectiva. Es biyectiva si se cumplen las dos propiedades anteriormente mencionadas de forma simultánea, inyectiva y sobreyectiva.
La figura 2 es un ejemplo de dicho caso, así como la representación geométrica mostrada en la figura 6 cumple esta misma propiedad.
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