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xDaaanInforme12 de Octubre de 2015
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Tema 2. LÍMITES Y CONTINUIDA DE FUNCIONES
Aunque en la parte que vamos a estudiar ahora manejaremos casi siempre funciones de dos variables conviene que conozcamos las clases de funciones que podemos encontrar.
Funciones reales de variable real
Son aplicaciones definidas entre números reales, es decir, el conjunto inicial es o un subconjunto de y el conjunto final es .
Una aplicación entre números reales la denotaremos de la siguiente forma:
siendo , es decir, es un subconjunto de .
La función asocia a cada elemento del conjunto un número real que denotamos por y que llamamos imagen del elemento .
Esto lo escribiré de la siguiente manera
Al conjunto de puntos donde está definida la función le llamaremos dominio de la función y lo denotaremos por D(). D() es, por tanto, el conjunto de puntos que poseen imagen mediante la función .
Tenemos, pues, que
D() = { / }
( Nota: El símbolo / lo leeremos “tal que”)
Funciones reales de una variable son, por ejemplo,
.
Las funciones de una variable se pueden representar gráficamente en el plano OXY (en 2º de Bachillerato ya lo has hecho).
Funciones reales de varias variables
Las funciones reales n variables serán aquéllas definidas sobre o sobre un subconjunto suyo y que tomen valores reales. Lo denotaremos
siendo
Lo que hacen estas funciones es asociar a cada vector de n componentes un número real , que será la imagen del elemento .
Al igual que en el caso anterior, el dominio de la función estará formado por aquellos elementos de que poseen imagen mediante la función .
D() = { / }
Veamos algunos ejemplos de funciones reales de varias variables.
z = = es una función de dos variables. Podemos hallar la imagen de cualquier elemento de que será un cierto número real.
.
.
El dominio de esta función es todo . D() = .
____
T = es una función de tres variables que toma valores en . Podemos hallar las imágenes de algunos puntos:
Vemos que podemos hallar la imagen de cualquier punto de . Tenemos, por tanto, que el dominio de esta función es:
D(T) = D() = .
____
Las funciones reales de dos variables , , se pueden representar gráficamente en el espacio . En el plano OXY tendríamos los puntos del dominio y su imagen se tomaría en el eje OZ. La gráfica de la función estaría formada por los puntos , siendo .
Gráfica de la función = G() = {, con }.
Al poner en el espacio todos los puntos de la forma , con , se obtiene una superficie en el espacio.
Las funciones de más de dos variables no tienen representación gráfica.
Funciones vectoriales de varias variables
Este es el caso más general que podemos encontrar.
Las funciones vectoriales están definidas sobre o sobre un subconjunto suyo y toman valores en . Una función vectorial la denotaremos en la forma
La función asocia a cada vector de n componentes de un elemento = de ; tendrá m componentes y será de la forma
= = ( , , … , )
Ahora, el dominio de esta función vectorial está formado por el conjunto de puntos para los cuales existen las funciones , , … , .
Veamos un ejemplo. Voy a definir una función vectorial entre y. Definiré como la función que a cada par le asocia la terna
( , , ). Esto lo podemos indicar en la forma
( , , )
O también escribiendo
= ( , , )
Como ves, la imagen es un vector de tres componentes
Calculemos la imagen de algún punto:
[pic 1]
[pic 2]
Límite de una función real de variable real
Supongamos que tenemos una función real de variable real
con
Vamos a definir cuándo esta función tiene límite en un punto del dominio, es decir, .
La función tendrá límite en el punto y ese límite valdrá un cierto número real si ocurre que al tomar puntos suficientemente próximos al punto sus imágenes, , estén tan próximas a como nosotros
queramos. Utilizando la notación matemática esta definición que acabamos de dar se escribiría:
/ si d(,)< entonces
d(,)<
(Nota: mediante d(,) estoy denotando la distancia que hay entre el punto y el punto )
Tal vez ya hayas visto alguna vez la definición de límite escrita de esta forma. Si no es así, esta definición que acabas de ver no tiene que asustarte. Tampoco es necesario que intentes memorizarla, pues la teoría de los límites no está entre los objetivos fundamentales de este curso. Estamos viendo lo esencial porque, más adelante, definiremos los conceptos de derivada, derivada parcial, derivada direccional como límites. Por tanto, conviene que al menos tengas una ligera idea de lo que significa.
La definición de límite, que antes he escrito con notación matemática, la puedes leer como sigue:
El límite de la función cuando tiende al punto existe y vale el número real si dado cualquier número , positivo y tan pequeño como queramos, tomando puntos suficientemente próximos al punto (es decir, tomando puntos cuya distancia al punto sea más pequeña que algún número , positivo y pequeño, puesto que suele depender de ), entonces sus imágenes distan del número menos que cualquier número . Por muy pequeño que tomemos ese número , si el límite existe lo anterior se cumplirá.
____
Es importante que sepas que el límite de una función, si existe, es un valor único.
____
Para calcular un límite del tipo procederemos a hacer tender hacia y veremos hacia que número tiende la función .
No vamos a entrar a calcular límites indeterminados pues no es el objetivo de este curso. No obstante, si tuvieras que calcular algún límite y no supieras cómo hacerlo no dudes en preguntármelo.
Ejemplo
Calcularemos ()
____
Haciendo tender a 2, la función tenderá a +3·2+1 = 11. Con lo cual:
() = 11
____
Límite de una función real de varias variables
Sea ahora una función real de varias variables
siendo .
Sea
Vamos a definir el límite de la función en el punto de una manera totalmente análoga a como lo hemos hecho con las funciones de una variable.
Decimos que existe el límite de la función en el punto y vale un cierto número real ( lo escribiremos = ) si ocurre que al acercarnos al punto con puntos del dominio que estén muy próximos al punto sus imágenes, , estarán muy próximas a . De hecho, podremos encontrar imágenes tan cercanas a como queramos.
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