Que es Intuicionismo

Intuicionismo

Origen histórico: Segundo congreso internacional de matemáticas (1900)

Al igual que las demás ciencias el objetivo de las matemáticas es la demostración.

Como ya sabemos, algo que de aceptó como verdadero después de una demostración se llama teorema que se toma como verdadero.

Pero en la demostración de estos teoremas vamos a utilizar otros teoremas que ya se han demostrado. Pero si insistimos en discutir las presunciones llevaremos a conceptos que simplemente se toman como verdaderos sin demostración. Por eso son necesarios los fundamentos de las matemáticas.

Lo que se quiso plantear como los fundamentos de matemáticas inicialmente fue la Teoría de conjuntos de Cantor pero que más se encontrarán algunas paradojas que daban en contradicciones y para la incorporación de un nuevo concepto matemático este no debía contradecirse.

Para la superación de las paradojas aparecen las corrientes del Formalismo, Logicismo, Constructivismo y Intuicionismo.

Logicismo con Frege. Dió un avance a la lógica aristotélica que habían permanecido intacta.

Formalismo con Hilbert, con un ideal axiomático y su argumento de que todo problema tenía solución proponía que de un reducido número de axiomas podían reducirse todos los teoremas aceptados por las matemáticas ordinarias. Estos axiomas debían ser lo más reducidos posibles y independientes de los otros.

Hilbert decía que la lógica debía axiomatizarse por el contrario de Russel que decía que la matemática se hacía desde la lógica.

Constructivismo y sus planteamientos pasaron al Intuicionismo.

Luego llega Brower en 1907 y propone que las matemáticas no pueden existir si no han sido construidas intuitivamente.

Brower y Hilbert entraron en debates sobre los fundamentos de matemáticas que terminaron siendo más personales.

¿Es posible el conocimiento?

El conocimiento intuitivo intelectual es generalmente rechazado, y no se admite la intuición como una fuente de conocimiento, porque todo conocimiento se define más bien como una creencia racional justificada, esto es, basada en razones de las que uno debe ser consciente.

Cualquier enunciado que sea evidente para alguien, ha de serlo porque ese alguien tiene tan buenas razones para considerarlo verdadero que le producen la mayor certeza posible; la evidencia no funda conocimiento, sino que es tan solo la máxima certeza que proviene del conocimiento.

Límites:

Algo deber ser construido o encontrado como una prueba de su existencia (veracidad)

Es un proceso directo.

Intuicionismo matemático

Dentro de la filosofía de las matemáticas, para explicar el intuicionismo, lo primero que quiero decir, es explicar el término del platonismo. El platonismo se refiere a una creencia en la existencia de objetos matemáticos independientemente del razonamiento humano. Frente a esto el intuicionismo tiene una postura contraria. El intuicionismo lo que dice es que las matemáticas son un ejercicio de construcción mental, a lo que se refiere es, supongamos esto: cuando los matemáticos se juntan a hablar sobre sus teorías, lo que están haciendo es simplemente comunicarle a otro matemático lo que ha hecho en su privacidad, o sea, es una construcción individual que ha hecho sin la necesidad de remitir a un mundo matemático que existe independientemente y del cual todos los matemáticos participan, sino que cada quien con su razonamiento a dado o ha ejercitado la razón matemática.

Lo que dice el intuicionista es que todo objeto matemático, ya sea un número real, un número natural, un teorema o una prueba matemática son una construcción mental como ya mencioné antes y por tanto hay una tensión entre los que se podrían considerar los realistas de las matemáticas y la postura antirrealista que mantiene el intuicionismo, ¿a qué se refiere esto? La diferencia inicia en la metodología o los principios lógicos que admiten dentro de este ejercicio de las matemáticas, tomemos el principio del tercero excluido, supongamos que tenemos una proposición, la disyunción p o no p, el intuicionista diría que no hay evidencia o prueba que determine de manera absoluta que esta proposición p o no p, es verdadera o es falsa. Diría que solamente podemos determinar la verdad o la falsedad de esta proposición dependiendo de si existe una prueba para la verdad de a o una prueba o una refutación que diga que no a es verdadera.

Ahora, el intuicionismo frente al platonismo en la filosofía de las matemáticas el intuicionismo dice no existen entes matemáticos independientes del razonamiento humano y por tanto, a ver, el no tener prueba para a no implica que se le haya refutado e igualmente no tener una refutación para a no quiere decir que se le haya probado y ahora, para ejemplificar esto, vamos a usar el ejemplo de una conjetura que hace un matemático llamado Goldbach “Todo número par es el resultado de la suma de dos primos”, un realista de las matemáticas lo que diría es: bueno, de hecho si, las series infinitas de los números se prueba que de hecho los números pares son la suma de dos números primos y tomarían como verdadera la conjetura. En cambio un intuicionista lo que dice es, si no hay una prueba que haga verdadera tal conjetura por lo tanto no podemos darle un valor de verdad, osea el valor de verdad o falsedad depende de la prueba no únicamente de que de hecho se dé el resultado, sino la verdad ya no está únicamente en el resultado sino en tener la prueba y es ahí donde estriba la certeza matemática y justo por eso estriba la diferencia entre los realistas matemáticos y los intuicionistas.

Para ellos realmente existe el objeto matemático pero nos es objetivo sino que depende la mente humana. De acuerdo con Brower las matemáticas son una creación no lingüísticas o alingüísticas. Para brower las matemáticas intuicionistas son una actividad de la mente que carece de lenguaje que tienen origen en la percepción de movimiento del tiempo, este punto es importante porque esta intuición a priori que después se hace de experiencia va a dar de sí a los números naturales.

¿Cómo

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