BLACKSHOLES

RESUMEN

Este artículo tiene como propósito hacer una presentación, sin excesivos formalismos matemáticos, pero con fidelidad histórica y suficiente profundidad conceptual, de un modelo de valoración de derivados financieros publicado en el Journal of Political Economy de mayo/junio de 1973, conocido en el ámbito financiero como el modelo de Black-Scholes-Merton, y aceptado desde entonces, como uno de los modelos matemáticos más influyentes en grandes decisiones financieras a nivel mundial. Se pretende también hacer una divulgación de ese modelo, que acaba de cumplir 30 exitosos años de vida, como un homenaje a sus autores.

Palabras clave:

Derivado Financiero, Proceso estocástico, Proceso Wiener, Proceso Itô, Modelo de Black Scholes Merton.

INTRODUCCIÓN

Un derivado financiero es un contrato, cuyo valor es función -se deriva- del precio de otro objeto financiero, que puede ser un activo, una tasa de referencia o un índice, tales como una acción, una divisa o un producto físico. En todos los casos el activo del cual se deriva el precio, es llamado activo subyacente.

Aunque actualmente se utiliza en el mundo una amplísima gama de derivados financieros y múltiples combinaciones entre ellos, los derivados básicos, y más conocidos, siguen siendo las opciones, los forwards, los futuros y los swaps. Por ejemplo, si se tiene una opción sobre una acción, la opción es el derivado financiero, y el activo subyacente es la acción.

Los llamados productos derivados financieros han sido utilizados con diversos objetivos, pero, dependiendo de la intención que se tenga al utilizarlos, los agentes u operadores que intervienen en su uso siempre se pueden enmarcar dentro alguna de las siguientes categorías: coberturistas, especuladores o arbitrajistas.

El objetivo de un coberturista (hedger) es cubrir el riesgo que afronta ante potenciales movimientos en un mercado variable. Los especuladores, utilizan los derivados para apostar acerca de la dirección futura de los mercados y tratar de obtener beneficio de esas tendencias "previstas". Los arbitrajistas toman posiciones compensatorias sobre dos o más activos o derivados, asegurándose un beneficio sin riesgo, y aprovechando situaciones coyunturales de los mercados.

ORIGENES DEL MODELO

Los orígenes de los modelos para la valoración de derivados financieros se encuentran en la ecuación de difusión, cuyo autor fue Joseph Fourier (1768-1830). Fourier publicó la Théorie Analitique de la Chaleur en 1822; pero desde 1807, aspirando al premio anual de la Academia de Ciencias, había presentado el primer trabajo relativo al tema de la conducción del calor. Ilustres matemáticos puros de la época, tales como Laplace, Lagrange y Legendre, que evaluaron la investigación, manifestaron sus reservas sobre el rigor lógico de algunas de sus deducciones, ya que por su condición de físico-matemático, los procedimientos de Fourier eran más empíricos que lógico-deductivos. Pero lo animaron a continuar su investigación, hasta que su persistencia y la relevancia de su teoría lo hicieron acreedor al Gran Premio de la Academia de Ciencias de París en 1812.

En 1827 el botánico inglés Robert Brown, analizó el movimiento de partículas de polen en el agua, y lo asoció a las teorías vitalistas de la vida, argumentando que ese movimiento era propio de la materia viviente, y relacionado con los mecanismos de la reproducción. Sin embargo, en sus trabajos finales, concluye que el movimiento errático observado era de naturaleza mecánica y no dependía del carácter orgánico ni inorgánico de los objetos considerados.

En 1905, casi un siglo después, Albert Einstein construyó un modelo matemático para explicar ese fenómeno, y lo denomina "movimiento Browniano" en honor a su descubridor.

Las hipótesis básicas de ese modelo de Einstein eran que el desplazamiento de la partícula entre dos instantes es independiente de las posiciones anteriores que haya tenido, y que la ley de probabilidad que rige el movimiento de la partícula sólo depende de distancia temporal. Con estas hipótesis, Einstein llegó a demostrar que la función de distribución f de la posición de la partícula tenía que verificar la siguiente ecuación en derivadas parciales:

, donde x es la variable espacial, t la variable temporal y D es una constante adecuada.

Esta ecuación, que ya era conocida como la ecuación de difusión, se ha constituido posteriormente en una de las vías a través de las cuales, haciendo algunos cambios de variables, se encuentran soluciones a la Ecuación de Black-Scholes-Merton.

Por otro lado, el 29 de marzo de 1900, Louis Bachelier defendió exitosamente en la Universidad de la Sorbona su tesis "Theorie de la Spéculation" para optar al Ph.D, bajo la supervisión de Henri Poincaré. En ella proponía un movimiento Browniano como modelo asociado a los precios de las acciones.

El objetivo del modelo de Bachelier era determinar el valor de opciones accionarias, y aunque fue un buen principio para esa valoración, la fórmula que dedujo estaba basada en supuestos no realistas, ya que asumía la inexistencia de tasas de interés y utilizaba un proceso estocástico(movimiento browniano) que permitía que los precios de las acciones tomaran valores negativos. Posiblemente ésta fue una razón para que ese modelo fuera olvidado durante mucho tiempo.

Posteriormente, autores como Paul Samuelson y James Boness, se ocuparon de superar algunas de los inconvenientes del modelo de Bachelier, asumiendo la existencia de tasas de interés y una distribución de probabilidad más realista para los precios de las acciones; además tuvieron en cuenta que los inversores son adversos al riesgo, y que posiblemente estén dispuestos a asumirlo, pero a cambio de algún premio.

En particular, en 1960, el economista norteamericano Samuelson(premio Nobel de economía en 1970) propuso el movimiento browniano geométrico como modelo para los precios que están sujetos a incertidumbre. En 1964, Boness sugirió una fórmula más cercana a la de Black-Scholes, pero que todavía contaba con una tasa de interés desconocida, que Boness incluía como compensación por el riesgo asociado con el valor de la acción.

Para el modelo de Black-Scholes-Merton, el movimiento Browniano geométrico es el modelo básico asociado a los movimientos de los precios. Pero además estos autores tuvieron en cuenta, y esto fue determinante, que el movimiento Browniano está asociado con la teoría matemática avanzada del cálculo estocástico o cálculo de Ito, desarrollado por el matemático japonés Kiyosi Ito desde 1940, que considera aspectos análogos a los del cálculo clásico de Newton y Leibtniz, pero en condiciones aleatorias.

EL MODELO BLACK-SCHOLES-MERTON

En esta sección vamos a deducir la ecuación diferencial en derivadas parciales que desde su descubrimiento en 1973 ha sido denominada como el modelo de Black Scholes Merton.

Supongamos que el valor de una acción, que se toma como activo subyacente, es S y satisface la siguiente ecuación diferencial estocástica:

,

donde  es la tasa promedio de rendimiento, t es el tiempo,  es la volatilidad y dx es un proceso de Wiener, que satisface una distribución normal N(0,). La igualdad planteada se conoce como movimiento browniano geométrico. El valor de una opción sobre aquel activo subyacente, lo denotaremos por V = V(S,t), y es una función del valor de ese activo S, y del tiempo t.

Usando el lema de Itô (que es una conocida fórmula del cálculo estocástico) se tiene que:

En este caso, igual que en el caso discreto, se puede valorar el precio de la opción comparando con un portafolio apropiado, que elimine la aleatoriedad del movimiento browniano. Como S y V están correlacionados, esto puede hacerse construyendo un portafolio que consiste de una opción y un número de acciones. El valor de este portafolio estará dado por:

Por lo tanto el cambio del valor del portafolio será:

Que combinando con las expresiones dadas para dS y dV se convierte en:

Además la ganancia de invertir  a una tasa sin riesgo r, durante un intervalo de tiempo dt, sería rdt. Entonces asumiendo que no existe oportunidad de arbitraje y que no hay costos de transacción, se tendría que,

Sustituyendo en la expresión anterior y dividiendo por t se obtiene la

ecuación diferencial de Black–Scholes:

El valor de cualquier derivado financiero debe satisfacer esta ecuación básica.

Como la mayoría de las ecuaciones diferenciales, la ecuación de B-S-M tiene muchas soluciones, que dependen de las condiciones iniciales y de frontera, y que corresponden a la multitud de posibles instrumentos derivados financieros. En muchos casos prácticos, los procedimientos no permiten una solución analítica, y se hace necesario recurrir a métodos numéricos.

En el caso de una opción call Europea, con precio de ejercicio E, y término de expiración T, al final del período la opción debe valer exactamente máx(S-E, 0) cuando t= T. Para este derivado en particular y con la condición dada, el valor de esa opción, generado por el modelo está dado por:

Esta es la llamada fórmula de Black Scholes Merton. En ella N(x) es el valor de la función de probabilidad acumulada de una distribución normal estándar,

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