Matematiucas

Ejercicios a resolver:

instrucciones:

Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que revises y comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.

Investiga en la Biblioteca digital, en otras fuentes electrónicas o textos, la información siguiente: las propiedades de los determinantes y ejemplificarlas.

Encuentra el determinante para cada una de las siguientes matrices, si es posible.

En cada uno de los problemas anteriores determina, si la matriz dada es invertible y si lo es encuentra su inversa.

Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

Representa el sistema de ecuaciones lineales en su forma matricial.

Distingue si la solución del sistema es única.

Aplica al menos dos de los siguientes métodos para corroborar tus respuestas: método de la matriz inversa, regla de Cramer o el método de Gauss Jordan.

Un agricultor tiene 200 acres de terreno adecuado para los cultivos X, Y y Z: El costo respectivo por acre es de $40, $60, $80 y dispone de $12600 para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo X requiere de 20 horas de trabajo; cada acre del cultivo Y, 25 horas de trabajo, y cada acre del cultivo Z, 40 horas de trabajo. El agricultor tiene un máximo de 5950 horas de trabajo disponibles. Si desea utilizar toda la tierra cultivable, todo el presupuesto y toda la mano de obra disponible, ¿cuántos acres debe plantar de cada cultivo?

Operaciones y resultados:

Investiga en la Biblioteca digital, en otras fuentes electrónicas o textos, la información siguiente: las propiedades de los determinantes y ejemplificarlas.

1.|At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2. |A|=0 Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4.Si en un determinante se cambian entre sí dos columnas paralelas su determinante cambia de signo.

5.Si a los elementos de una columna se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6.Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier columna, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8.|A•B| =|A|•|B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

Encuentra el determinante para cada una de las siguientes matrices, si es posible.

Para A

Det(A)=|■(-1&-2@3&5)|=(-1)(5)-(-2)(3)=-5+6=1

Para B

El determinante de la matriz B no se puede obtener puesto que la matriz no es cuadrada.

Para C

Para encontrar el determinante de la matriz C utilizaremos la última fila, de la siguiente manera:

Det(C)=|■(3&-2&3@-2&1&2@-1&0&-1)|

=(-1)|■(-2&3@1&2)|-(0)|■(3&3@-2&2)|+(-1)|■(3&-2@-2&1)|

=(-1)[(-2)(2)-(1)(3)]+(-1)[(3)(1)—2)(-2)

=(-1)[-4-3]+(-1)[3-4]

=(-1)(-7)+(-1)(-1)

=7+1=8

Para D

Como en la matriz D tiene una fila de ceros, el determinante es igual a cero

En cada uno de los problemas anteriores determina, si la matriz dada es invertible y si lo es encuentra su inversa.

Solo se puede encontrar la inversa de las matrices A y C

Para A

Como la el determinante de la matriz A es diferente de cero, entonces la matriz A es invertible.

A^(-1)=(■(-1&-2@3&5)│■(1&0@0&1))

Multiplicando la primera fila por -1

=(■(1&2@3&5)│■(-1&0@0&1))

Multiplicamos la primera fila por -3 y la sumamos a la segunda fila

=(■(1&2@0&-1)│■(-1&0@3&1))

Multiplicamos la segunda fila por -1

=(■(1&2@0&1)│■(-1&0@-3&-1))

Multiplicamos la segunda fila por -2 y lo sumamos a la primera fila

=(■(1&0@0&1)│■(5&2@-3&-1))

Por lo tanto

A^(-1)=(■(5&2@-3&-1))

Para C

C^(-1)=(■(3&-2&3@-2&1&2@-1&0&-1)│■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))

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