HIPERPLANO

HIPERPLANO

Un hiperplano es un concepto de geometría. Es generalización del concepto de plano.

En general es un conjunto de puntos de Rn, tales que

CT*X = K

Donde CT es un vector columna de Rn y K es una constante en R

En un espacio de una única dimensión (como una recta), un hiperplano es un punto; divide una línea en dos líneas. En un espacio bidimensional (como el plano xy), un hiperplano es una recta; divide el plano en dos mitades. En un espacio tridimensional, un hiperplano es un plano corriente; divide el espacio en dos mitades. Este concepto también puede ser aplicado a espacios de cuatro dimensiones y más, donde estos objetos divisores se llaman simplemente hiperplanos, ya que la finalidad de esta nomenclatura es la de relacionar la geometría con el plano.

En general, un hiperplano es un espacio afín de codimensión. En otras palabras, un hiperplano es un análogo de muchas dimensiones al plano (de dos dimensiones) en el espacio tridimensional. Un hiperplano afín en un espacio n-dimensional puede ser descrito por una ecuación lineal no degenerada con la siguiente forma:

a1x1 + a2x2 +... + anxn = b.

Aquí no degenerada significa que no todas las ai son 0. Si b=0, se obtiene un hiperplano lineal, que pasa a través del origen.

Las dos mitades del espacio definidas por un hiperplano en espacios de n dimensiones son:

CONJUNTO CONVEXO

Un conjunto S € Rn es convexo si cumple que para cualquier X1 y X2 de S, si el segmento determinado por dicho par puntos está incluido en S En símbolos

Es decir, que dados dos puntos cualesquiera del conjunto, el segmento lineal cerrado que une los dos puntos está totalmente contenido en el conjunto.

La expresión t* X1 + (1-t) *X2, donde se llama combinación convexa de X1 y X2. En consecuencia se dice que el conjunto S es convexo, si toda combinación convexa de dos puntos cualquiera de S pertenece a S. El conjunto de todas las combinaciones convexas de X1 y X2 es el segmento cuyos extremos son esos puntos.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONVEXOS

Conjuntos convexo "por definición"

a) El conjunto vacío Ø es un conjunto convexo.

b) Los conjuntos de un único punto {a}, también son conjuntos convexos.

c) También el conjunto Rn (espacio total) es un conjunto convexo.

La intersección, finita o infinita, de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

La unión de conjuntos convexos, en general, no tiene por qué ser un conjunto convexo.

La combinación lineal de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

Desigualdades Lineales

Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad. Los signos de desigualdad son. Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver las siguientes desigualdades:

Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.

SEMIESPACIO

A partir del concepto de hiperplano podemos definir el concepto de semiespacio, como el conjunto de puntos que verifica que:

En el primer caso (1) lo denominamos semiespacio inferior y en el segundo (2) semiespacio superior.

Estas dos definiciones de semiespacio se refieren a semiespacios cerrados, ya que las desigualdades son de la forma mayor (menor) -igual. Si las desigualdades son estrictas, es decir, mayor (menor) estrictamente entonces

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