IONES DIFERENCIALES LINEALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

IONES DIFERENCIALES LINEALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

80

2

1/ 2 1/ 2

2

1/ 2 1/ 2

1 2c u du v dv c 2u 2v c

v

dv

u

du ∫ - ∫ = Û ∫ - ∫ = Û - = - - , (c2 = 2c1) (3),

⇒ 2

2 2

2

2 1/ 2 2 1/ 2 c

2

1

2(1+ x ) - 2(1+ y ) = c Û 1+ x - 1+ y = {(2) en (3)};

1+ x2 - 1+ y2 = c , (con c = c2/2), de donde se obtiene la I.G.:

y = x2 + c2 - 2c 1+ x2 .

Ejemplo 25

Resolver la EDO: 2y·cos x·dx + 3sen x·dy = 0; con: y(p/2) = 2.

Solución:

2y·cos x·dx + 3sen x·dy = 0 0

y

dy

cot x·dx

3

2

0

y

dy

dx

3sen x

2cos x Û + = Û + =

(separando variables),

⇒ 1 1 lnsen x Iny c

3

2

c

y

dy

cot xdx

3

2 ∫ + ∫ = Û + = (integrando cada término

de la ecuación),

⇒ 2ln|sen x| + 3ln|y| = 3c1 Û ln|sen2x| + ln|y3| =3c1 Û ln|y3sen2x|= c2,

⇒ y3sen2x = exp(c2) Û y3sen2x = c (1).

⇒ La condición inicial es que cuando: x = p/2 entonces y= 2, (2), luego:

23sen2(p/2) = c Û 8(12) = c Û c = 8 (3)

Substituyendo (3) en (1), se obtiene la solución particular buscada:

y3sen2x = 8, o sea:

3 2

3

2

...